Deck 17: Differential Equations

Question 1

The order and degree of the differential equation $\frac { d y } { d x } = - \frac { x } { y }$ are

A)1;1
B)1;2
C)2;1
D)2;2
E)1;3

Answer 1

1;1

Question 2

The order and degree of the differential equation $\left( y - x y ^ { \prime } \right) ^ { 2 } = 4 \left( 1 + \left( y ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \right)$ are

A)1;1
B)1;2
C)2;1
D)2;2
E)1;3

Answer 2

1;2

Question 3

The order and degree of the differential equation $4 \left( y ^ { \prime \prime } \right) ^ { 2 } = \left( 1 + \left( y ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 3 }$ are

A)1;1
B)1;2
C)2;1
D)2;2
E)1;3

Answer 3

2;2

Question 4

The order and degree of the differential equation $\frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } = - 5 x$ are

A)1;1
B)1;2
C)2;1
D)2;2
E)1;3

Question 5

A solution of $y ^ { \prime } + y = 3 e ^ { 2 x }$ is

A) $- y = e ^ { - x } + 3 e ^ { 2 x }$
B) $y = e ^ { - x } - 2 e ^ { 2 x }$
C) $y = e ^ { - x } + e ^ { 2 x }$
D) $y = - 2 e ^ { - x } + e ^ { 2 x }$
E) $y = 2 e ^ { - x } + e ^ { 2 x }$

Question 6

A solution of $y ^ { \prime } + y ^ { \prime } = 6 e ^ { 2 x }$ is

A) $y = 2 e ^ { - x } + e ^ { 2 x }$
B) $y = - 2 e ^ { - x } + e ^ { 2 x }$
C) $y = e ^ { - x } + e ^ { 2 x }$
D) $y = 3 e ^ { - x } + e ^ { 2 x }$
E)All of the above

Question 7

A solution of $y ^ { \prime } + 2 = x$ is

A) $y ^ { 2 } = 4 - ( x + 2 ) ^ { 2 }$
B) $y ^ { 2 } = 4 + ( x - 2 ) ^ { 2 }$
C) $y ^ { 2 } = 4 + ( x + 2 ) ^ { 2 }$
D) $y ^ { 2 } = 4 - ( x - 2 ) ^ { 2 }$
E) $- y ^ { 2 } = 4 - ( x - 2 ) ^ { 2 }$

Question 8

A solution of $y = x y ^ { \prime } + \sqrt { 1 - \left( y ^ { \prime } \right) ^ { 2 } }$ is

A) $y = \frac { x } { 2 } + \frac { 1 } { 2 }$
B) $y = \frac { x } { 2 } + \frac { 3 } { 2 }$
C) $y = \frac { x } { 2 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
D) $y = \frac { x } { 2 } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
E) $- y = \frac { x } { 2 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$

Question 9

A solution of $y ^ { \prime } = x ^ { 2 } y ^ { 3 }$ is

A) $- 2 x ^ { 3 } + 3 y ^ { - 2 } = 5$
B) $2 x ^ { 3 } + 3 y ^ { - 2 } = 5$
C) $2 x ^ { 3 } - 3 y ^ { - 2 } = 5$
D) $3 x ^ { 3 } + 2 y ^ { - 2 } = 5$
E) $3 x ^ { 3 } - 2 y ^ { - 2 } = 5$

Question 10

A solution of $x y ^ { \prime \prime } - y ^ { \prime } = 0$ is

A) $y = x ^ { 2 } + 3$
B) $y = - x ^ { 2 } - 2$
C) $y = x ^ { 2 } + 2$
D) $y = x ^ { 2 } - 2$
E)All of the above

Question 11

A solution of $2 x + 2 y y ^ { \prime } = 3$ is

A) $- x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 3 x = 0$
B) $x ^ { 2 } - y ^ { 2 } + 3 x = 0$
C) $x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - 3 x = 0$
D) $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 3 x = 0$
E) $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 3 x = 0$

Question 12

A solution of $x y ^ { \prime \prime } y + x \left( y ^ { \prime } \right) ^ { 2 } - y y ^ { \prime } = 0$ is

A) $- 3 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$
B) $x ^ { 2 } - 3 y ^ { 2 } = 1$
C) $x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } = 1$
D) $3 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$
E) $3 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1$

Question 13

A solution of $y ^ { \prime \prime } - 7 y ^ { \prime } + 12 y = 0$ is

A) $y = 2 e ^ { 3 x } + 5 e ^ { 4 x }$
B) $y = 2 e ^ { 3 x } - 5 e ^ { 4 x }$
C) $y = - 2 e ^ { 3 x } + 5 e ^ { 4 x }$
D) $y = - 2 e ^ { 3 x } - 5 e ^ { 4 x }$
E)All of the above

Question 14

A solution of $x \left( y ^ { \prime } \right) ^ { 2 } - 2 y y ^ { \prime } - x = 0$ is

A) $x ^ { 2 } = - 2 y - 1$
B) $x ^ { 2 } = 2 y + 1$
C) $3 x ^ { 2 } = - 2 y + 1$
D) $x ^ { 2 } = 2 y - 1$
E) $x ^ { 2 } = y + 2$

Question 15

A solution of $y \left( y ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + 2 x y ^ { \prime } - y = 0$ is

A) $4 y ^ { 2 } = ( x + 1 )$
B) $y ^ { 2 } = - 4 ( x - 1 )$
C) $y ^ { 2 } = - 4 ( x + 1 )$
D) $y ^ { 2 } = 4 ( x + 1 )$
E) $y ^ { 2 } = 2 ( x - 1 )$

Question 16

A solution of $\left( y ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ is

A) $y = \cos ( x - 4 )$
B) $y = \cos ( x + 4 )$
C) $y = - \sin ( x + 4 )$
D) $y = \sin ( x - 4 )$
E)All of the above

Question 17

A solution of $y ^ { \prime \prime } - y = 0$ is

A) $y = e ^ { x } + e ^ { - x }$
B) $y = e ^ { x } - e ^ { - x }$
C) $y = - e ^ { x } + e ^ { - x }$
D) $y = - e ^ { x } - e ^ { - x }$
E)All of the above

Question 18

A solution of $y ^ { \prime } + 2 y = 0$ is

A) $y = 3 e ^ { - 2 x }$
B) $y = - e ^ { 2 x }$
C) $y = e ^ { - 2 x }$
D) $y = - 2 e ^ { - 2 x }$
E) $y = e ^ { 2 x }$

Question 19

A solution of $y ^ { \prime \prime } + 9 y = 0$ is

A) $y = 3 \sin ( 3 x )$
B) $y = \sin ( 3 x )$
C) $y = - \sin ( 3 x )$
D) $y = \cos ( 3 x )$
E)All of the above

Question 20

A solution of $y ^ { \prime \prime } + y = 0$ is

A) $y = \sin x + 2 \cos ^ { 2 } x$
B) $y = 2 \sin ^ { 2 } x - \cos x$
C) $y = - 2 \sin x + \cos ^ { 2 } x$
D) $y = 2 \sin x - 2 \cos ^ { 2 } x$
E) $y = 2 \sin x + \cos x$

Question 21

Which of the following is a homogeneous function?

A) $f ( x , y ) = 2 x ^ { 4 } y - 3 x y ^ { 2 } - y ^ { 3 }$
B) $f ( x , y ) = 2 x ^ { 3 } - 3 x y ^ { 2 } - y ^ { 3 }$
C) $f ( x , y ) = 2 x ^ { 2 } - 3 x y ^ { 2 } - y ^ { 3 }$
D) $f ( x , y ) = 2 x ^ { 4 } - 3 x y ^ { 2 } - y ^ { 3 }$
E) $f ( x , y ) = 2 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 3 } y ^ { 4 } - y ^ { 5 }$

Question 22

Which of the following is a homogeneous function?

A) $f ( x , y ) = - x ^ { 2 } - x ^ { 3 } y + y ^ { 2 }$
B) $f ( x , y ) = x ^ { 2 } + x y - x ^ { 3 } y ^ { 2 }$
C) $f ( x , y ) = x ^ { 2 } - x ^ { 3 } y - y ^ { 2 }$
D) $f ( x , y ) = x ^ { 2 } + x y + x ^ { 3 } y ^ { 2 }$
E) $f ( x , y ) = x ^ { 2 } - x y + y ^ { 2 }$

Question 23

Which of the following is a homogeneous function?

A) $f ( x , y ) = \cos ( x y ) f ( x , y ) = \cos ( x y )$
B) $f ( x , y ) = 2 x ^ { 5 } - 3 x ^ { 4 } y - y ^ { 5 }$
C) $f ( x , y ) = \sin ( x y ) - x$
D) $f ( x , y ) = 2 x - x ^ { 2 } y ^ { 3 } + y ^ { 2 }$
E) $f ( x , y ) = x ^ { 2 } - x ^ { 2 } y ^ { 3 } + y ^ { 2 }$

Question 24

Which of the following is a homogeneous function?

A) $f ( x , y ) = x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } y + y ^ { 3 }$
B) $f ( x , y ) = 2 x ^ { 3 } - 3 x y - y ^ { 3 }$
C) $f ( x , y ) = \sin ( x y ) - x$
D) $f ( x , y ) = 2 x - x ^ { 2 } y ^ { 3 } + y ^ { 2 }$
E) $f ( x , y ) = x ^ { 2 } - x ^ { 2 } y ^ { 3 } + y ^ { 2 }$

Question 25

The general solution of $x y d x - \left( 1 + x ^ { 2 } \right) d y = 0$ is

A) $y ^ { 2 } = c \left( 1 + x ^ { 2 } \right)$
B) $y ^ { 2 } = c \left( 1 - x ^ { 2 } \right)$
C) $y = c \left( 1 + x ^ { 2 } \right)$
D) $y = c \left( 1 - x ^ { 2 } \right)$
E) $y ^ { 2 } = c ( 1 + x )$

Question 26

The general solution of $\left( 1 + y ^ { 2 } \right) d x + \left( 1 + x ^ { 2 } \right) d y = 0$ is

A) $y = \frac { c + 2 x } { 1 + c x }$
B) $y = \frac { c - 2 x } { 1 + c x }$
C) $y = \frac { c + x } { 1 - c x }$
D) $y = \frac { c - x } { 1 + c x }$
E) $y = \frac { c + x } { 1 + c x }$

Question 27

The general solution of $y ^ { 2 } d x - \left( x y + x ^ { 2 } \right) d y = 0$ is

A) $y e ^ { \frac { y } { x } } = c x$
B) $y e ^ { \frac { y } { x } } = c$
C) $y e ^ { \frac { y } { x } } = c x ^ { 2 }$
D) $y e ^ { \frac { y } { x } } = c x ^ { - 1 }$
E) $y e ^ { \frac { y } { x } } = c x ^ { - 2 }$

Question 28

The general solution of $( y + 3 ) d x + \cot x d y = 0$ is

A) $y ^ { 2 } = c \cos x - 3$
B) $3 y = c \cos x + 3$
C) $3 y = c \cos x - 3$
D) $y = c \cos x - 3$
E) $y = c \cos x + 3$

Question 29

The general solution of $\sin x \cos y d x + \cos x \sin y d y = 0$ is

A) $\cos ^ { 2 } x \cos y = C$
B) $\sin x \sin y = C$
C) $\cos x \cos y = C$
D) $\sin x \cos y = C$
E) $\cos x \sin y = C$

Question 30

The general solution of $\sin x \cos ^ { 2 } y d x + \cos ^ { 2 } x d y = 0$ is

A) $\sec x + \tan y = C$
B) $\sec x - \tan y = C$
C) $\sec x + \sec y = C$
D) $\tan x + \tan y = C$
E) $\tan x + \sec y = C$

Question 31

The orthogonal trajectories of $y ^ { 2 } = c x$ are

A) $2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = c$
B) $2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = c$
C) $- 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = c$
D) $x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = c$
E) $x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } = c$

Question 32

The orthogonal trajectories of $x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = c$ are

A) $x ^ { 3 } y = c$
B) $x y ^ { 3 } = c$
C) $x y ^ { 2 } = c$
D) $x y = c$
E) $x ^ { 2 } y = c$

Question 33

The orthogonal trajectories of $x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = c x$ are

A) $3 x ^ { 2 } y + y ^ { 3 } = c$
B) $3 x ^ { 2 } y - y ^ { 3 } = c$
C) $x ^ { 2 } y + 3 y ^ { 3 } = c$
D) $x ^ { 2 } y - 3 y ^ { 3 } = c$
E) $3 x ^ { 2 } y + 2 y ^ { 3 } = c$

Question 34

The orthogonal trajectories of $2 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } = c$ are

A) $y = c x ^ { 3 }$
B) $y ^ { 2 } = c x ^ { 2 }$
C) $y ^ { 2 } = c x ^ { 3 }$
D) $y = c x ^ { 2 }$
E) $y ^ { 3 } = c x ^ { 2 }$

Question 35

The general solution of $\left( x e ^ { \frac { y } { x } } + y \right) d x - x d y = 0$ is

A) $\ln y + e ^ { - \frac { y } { x } } = c$
B) $- \ln y + e ^ { - \frac { y } { x } } = c$
C) $- \ln x + e ^ { - \frac { y } { x } } = c$
D) $\ln x - e ^ { - \frac { y } { x } } = c$
E) $\ln x + e ^ { - \frac { y } { x } } = c$

Question 36

The general solution of $x y ^ { \prime } + y = 2 \sqrt { x y }$ is

A) $x ^ { 2 } - x y - 2 c x + c ^ { 2 } = 0$
B) $x ^ { 2 } - x y + 2 c x + c ^ { 2 } = 0$
C) $x ^ { 2 } + x y + 2 c x + c ^ { 2 } = 0$
D) $x ^ { 2 } + x y - 2 c x + c ^ { 2 } = 0$
E) $2 x ^ { 2 } - x y + 2 c x + c ^ { 2 } = 0$

Question 37

The general solution of $\left( y ^ { 2 } - x y \right) d x + x ^ { 2 } d y = 0$ is

A) $\ln x - \frac { x } { y } = C$
B) $\ln x + \frac { x } { y } = C$
C) $- x \ln x - \frac { x } { y } = C$
D) $- y \ln x + \frac { x } { y } = C$
E) $\ln y - \frac { x } { y } = C$

Question 38

The general solution of $y ^ { 3 } d x + \left( x y ^ { 2 } + 1 \right) d y = 0$ is

A) $- x y ^ { 2 } + c y - 1 = 0$
B) $x y ^ { 2 } + c y + 1 = 0$
C) $x y ^ { 2 } + c y - 1 = 0$
D) $x y ^ { 2 } - c y - 1 = 0$
E) $x y ^ { 2 } - c y + 1 = 0$

Question 39

The general solution of $x y ^ { \prime } - y + \sqrt { y ^ { 2 } - x ^ { 2 } } = 0$ is

A) $\left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) y ^ { 2 } = c x ^ { 3 }$
B) $\left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) y ^ { 2 } = c x ^ { 3 }$
C) $\left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) y ^ { 2 } = c x ^ { 4 }$
D) $\left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) y ^ { 2 } = c x ^ { 4 }$
E) $\left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) y = c x ^ { 4 }$

Question 40

The general solution of $\left( x - y \cos \left( \frac { y } { x } \right) \right) d x + x \cos \left( \frac { y } { x } \right) d y = 0$ is

A) $\ln x - \sin \left( \frac { y } { x } \right) = c$
B) $\ln x + \sin \left( \frac { y } { x } \right) = c$
C) $\ln x - \sin \left( \frac { x } { y } \right) = c$
D) $\ln x + \sin \left( \frac { x } { y } \right) = c$
E) $\ln y - \sin \left( \frac { x } { y } \right) = c$

Question 41

Which of the following is an exact differential equation?

A) $\left( 3 x ^ { 2 } y + x ^ { 3 } y ^ { 2 } + e ^ { x } \right) d x + \left( x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y ^ { 3 } + \cos y \right) d y$
B) $\left( 3 x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 } + e ^ { x } \right) d x + \left( x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y + \cos y \right) d y$
C) $\left( 3 x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 } + e ^ { x } \right) d x + \left( x ^ { 3 } - x ^ { 2 } y + \cos y \right) d y$
D) $\left( 3 x ^ { 2 } y - x y + e ^ { x } \right) d x + \left( x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y + \cos y \right) d y$
E) $\left( 3 x ^ { 2 } y + x y + e ^ { x } \right) d x + \left( x ^ { 4 } - x ^ { 2 } y + \cos y \right) d y$

Question 42

Which of the following is an exact differential equation?

A) $x y ^ { 4 } d x + 2 x ^ { 2 } y ^ { 3 } d y$
B) $x ^ { 3 } y ^ { 4 } d x + 2 x ^ { 2 } y ^ { 3 } d y$
C) $x y ^ { 4 } d x + 2 x ^ { 4 } y ^ { 3 } d y$
D) $x y ^ { 4 } d x + 2 x y d y$
E) $x y d x + 2 x ^ { 2 } y ^ { 3 } d y$

Question 43

Which of the following is an exact differential equation?

A) $( y \sin x - 3 \cot y ) d x + ( 3 x \sin y - \cos x ) d y$
B) $( y \sin x - 3 \cos y ) d x + ( 3 x \sin y - \cot x ) d y$
C) $( y \sin x - 3 \cos y ) d x + ( 3 x \sec y - \cos x ) d y$
D) $( y \sin x - 3 \cos y ) d x + ( 3 x \sin y - \cos x ) d y$
E) $( y \sec x - 3 \cos y ) d x + ( 3 x \sin y - \cos x ) d y$

Question 44

Which of the following is an exact differential equation?

A) $( x + y ) d x + \left( 2 y + x ^ { 2 } \right) d y$
B) $( x + y ) d x + ( 2 y + x ) d y$
C) $\left( x ^ { 2 } + 2 x y \right) d x + ( 2 y + x ) d y$
D) $( x + y ) d x + \left( 2 y ^ { 2 } + 3 x y \right) d y$
E) $\left( x + y ^ { 2 } \right) d x + ( 2 y + x ) d y$

Question 45

The general solution of the exact differential equation $\left( \frac { 2 x y + 1 } { y } \right) d x + \left( \frac { y - x } { y ^ { 2 } } \right) d y = 0$ is

A) $2 x ^ { 2 } + \frac { x } { y } + \ln y = C$
B) $- x ^ { 2 } - \frac { x } { y } + \ln y = C$
C) $x ^ { 2 } + \frac { x } { y } + \ln y = C$
D) $x ^ { 2 } - \frac { x } { y } + \ln y = C$
E) $- x ^ { 2 } + \frac { x } { y } + \ln y = C$

Question 46

The general solution of the exact differential equation $\left( \frac { y ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } } { x y ^ { 2 } - x ^ { 3 } } \right) d x + \left( \frac { 2 y ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { y ^ { 3 } - x ^ { 2 } y } \right) d y = 0$ is

A) $x ^ { 2 } y \left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) = C$
B) $x y ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) = C$
C) $x y \left( 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) = C$
D) $x y \left( y ^ { 2 } + x ^ { 2 } \right) = C$
E) $x y \left( y ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right) = C$

Question 47

The general solution of the exact differential equation $( x + y ) d x + ( 2 y + x ) d y = 0$ is

A) $x ^ { 2 } - 2 x y + 2 y ^ { 2 } = C$
B) $x ^ { 2 } + 2 x y + 2 y ^ { 2 } = C$
C) $x ^ { 2 } + 2 x y - 2 y ^ { 2 } = C$
D) $x ^ { 2 } - 2 x y - 2 y ^ { 2 } = C$
E) $3 x ^ { 2 } + 2 x y + 2 y ^ { 2 } = C$

Question 48

The general solution of the exact differential equation $\left( \frac { y } { x - 1 } \right) d x + \left( \ln ( 2 x - 2 ) + \frac { 1 } { y } \right) d y = 0$ is

A) $- y \ln ( 2 x - 2 ) + \ln y = C$
B) $y \ln ( 2 x + 2 ) - \ln y = C$
C) $y \ln ( 2 x - 2 ) - \ln y = C$
D) $y \ln ( 2 x - 2 ) + \ln y = C$
E) $y \ln ( 2 x + 2 ) + \ln y = C$

Question 49

The general solution of the exact differential equation $e ^ { 2 x } \left( \frac { d y } { d x } + 2 y \right) = x ^ { 2 }$ is

A) $y e ^ { 2 x } - 3 x ^ { 3 } = C$
B) $- 3 y e ^ { 2 x } + x ^ { 3 } = C$
C) $- 3 y e ^ { 2 x } - x ^ { 3 } = C$
D) $3 y e ^ { 2 x } + x ^ { 3 } = C$
E) $3 y e ^ { 2 x } - x ^ { 3 } = C$

Question 50

The general solution of the exact differential equation $\left( \frac { x ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } \cos \left( \frac { x } { y } \right) \right) \frac { d y } { d x } = \frac { x } { y } \cos \left( \frac { x } { y } \right) + \sin \left( \frac { x } { y } \right) + \cos x$ is

A) $- x \sin \left( \frac { y } { x } \right) - \sin x = C$
B) $x \sin \left( \frac { x } { y } \right) + \sin x = C$
C) $- x \sin \left( \frac { x } { y } \right) - \sin x = C$
D) $- x \sin \left( \frac { x } { y } \right) + \sin x = C$
E) $x \sin \left( \frac { x } { y } \right) - \sin x = C$

Question 51

The general solution of the exact differential equation $\left( 2 y \cot x - 3 x ^ { 2 } \right) \frac { d y } { d x } = y ^ { 2 } \csc ^ { 2 } x + 6 x y - 2$ is

A) $y ^ { 2 } \cot x - 3 x ^ { 2 } y + 2 x = C$
B) $y ^ { 2 } \cot x + 3 x ^ { 2 } y + 2 x = C$
C) $y ^ { 2 } \cot x - 3 x ^ { 2 } y - 2 x = C$
D) $y ^ { 2 } \cot x + 3 x ^ { 2 } y - 2 x = C$
E) $- y ^ { 2 } \cot x - 3 x ^ { 2 } y + 2 x = C$

Question 52

The general solution of the exact differential equation $( x + y ) d x + x d y = 0$ is

A) $- x ^ { 2 } + 3 x y = C$
B) $2 x ^ { 2 } - x y = C$
C) $2 x ^ { 2 } + x y = C$
D) $x ^ { 2 } + 2 x y = C$
E) $x ^ { 2 } - 2 x y = C$

Question 53

The general solution of the exact differential equation $( 6 x - 2 y + 1 ) d x - ( 2 x - 2 y + 3 ) d y = 0$ is

A) $3 x ^ { 2 } - 2 x v - v ^ { 2 } + x + 3 v = C$
B) $3 x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } + x - 3 y = C$
C) $3 x ^ { 2 } - 2 x y - y ^ { 2 } + x - 3 y = C$
D) $3 x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } - x - 3 y = C$
E) $3 x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } + x + 3 y = C$

Question 54

The general solution of the exact differential equation $\frac { ( x - y ) d x + ( x + y ) d y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = 0$ is

A) $- \ln \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { y } { x } \right) = C$
B) $\ln \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { x } { y } \right) = C$
C) $- \ln \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \tan ^ { - 1 } \left( \frac { y } { x } \right) = C$
D) $\ln \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { y } { x } \right) = C$
E) $\ln \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \tan ^ { - 1 } \left( \frac { y } { x } \right) = C$

Question 55

The general solution of the exact differential equation $\frac { d x } { \sqrt { x y } } + \left( \frac { 2 } { y } - \sqrt { \frac { x } { y ^ { 3 } } } \right) d y = 0$ is

A) $\sqrt { \frac { x } { y } } - \ln y = C$
B) $\sqrt { \frac { x } { y } } + \ln y = C$
C) $\sqrt { \frac { x } { y } } + \ln x = C$
D) $\sqrt { \frac { x } { y } } - \ln x = C$
E) $- \sqrt { \frac { x } { y } } + \ln y = C$

Question 56

The general solution of the exact differential equation $\sqrt { x y } \left[ \left( 5 x y - 3 y ^ { 3 } \right) d x + \left( 3 x ^ { 2 } - 7 x y ^ { 2 } \right) \right] = 0$ is

A) $2 x ^ { \frac { 5 } { 2 } } y ^ { \frac { 3 } { 2 } } - 3 x ^ { \frac { 3 } { 2 } } y ^ { \frac { 5 } { 2 } } = C$
B) $2 x ^ { \frac { 5 } { 2 } } y ^ { \frac { 3 } { 2 } } + x ^ { \frac { 3 } { 2 } } y ^ { \frac { 5 } { 2 } } = C$
C) $2 x ^ { \frac { 5 } { 2 } } y ^ { \frac { 3 } { 2 } } - x ^ { \frac { 3 } { 2 } } y ^ { \frac { 5 } { 2 } } = C$
D) $x ^ { \frac { 5 } { 2 } } y ^ { \frac { 3 } { 2 } } - x ^ { \frac { 3 } { 2 } } y ^ { \frac { 7 } { 2 } } = C$
E) $x ^ { \frac { 5 } { 2 } } y ^ { \frac { 3 } { 2 } } + x ^ { \frac { 3 } { 2 } } y ^ { \frac { 5 } { 2 } } = C$

Question 57

The general solution of the exact differential equation $\left( 2 x y ^ { - 3 } - 3 x ^ { 2 } \right) d x + 3 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) y ^ { - 4 } d y = 0$ is

A) $\left( x ^ { 2 } - 1 \right) y ^ { - 3 } - x ^ { 3 } = C$
B) $\left( x ^ { 2 } + 1 \right) y ^ { - 3 } - x ^ { 3 } = C$
C) $\left( x ^ { 2 } - 1 \right) y ^ { - 3 } + x ^ { 3 } = C$
D) $\left( x ^ { 2 } + 1 \right) y ^ { - 3 } + x ^ { 3 } = C$
E) $- 2 \left( x ^ { 2 } - 1 \right) y ^ { - 3 } - x ^ { 3 } = C$

Question 58

The general solution of the exact differential equation $\left( 2 x \sin \left( \frac { y } { x } \right) - y \cos \left( \frac { y } { x } \right) \right) d x + x \cos \left( \frac { y } { x } \right) d y = 0$ is

A) $y ^ { 2 } \sin \left( \frac { y } { x } \right) = C$
B) $x ^ { 2 } \cos \left( \frac { x } { y } \right) = C$
C) $x ^ { 2 } \sin \left( \frac { y } { x } \right) = C$
D) $x ^ { 2 } \cos \left( \frac { y } { x } \right) = C$
E) $x ^ { 2 } \sin \left( \frac { x } { y } \right) = C$

Question 59

The general solution of the exact differential equation $\left( \frac { 2 x y + 1 } { y } \right) d x + \left( \frac { y - x } { y ^ { 2 } } \right) d y = 0$ is

A) $- x ^ { 2 } + \frac { x } { y } + \ln y = C$
B) $x ^ { 2 } - \frac { x } { y } - \ln y = C$
C) $x ^ { 2 } + \frac { x } { y } - \ln y = C$
D) $x ^ { 2 } + \frac { x } { y } + \ln y = C$
E) $x ^ { 2 } - \frac { x } { y } + \ln y = C$

Question 60

The general solution of the exact differential equation $\left( 3 x ^ { 2 } - 6 x y \right) d x + \left( 12 y - 3 x ^ { 2 } \right) d y = 0$ is

A) $- x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } y + 6 y ^ { 2 } = C$
B) $x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } y - 6 y ^ { 2 } = C$
C) $x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } y + 6 y ^ { 2 } = C$
D) $x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } y - 6 y ^ { 2 } = C$
E) $x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } y + 6 y ^ { 2 } = C$

Question 61

The general solution of the first-order differential equation $x y ^ { \prime } + ( 1 + x ) y = e ^ { x }$ is

A) $4 x y = e ^ { x } + C e ^ { - x }$
B) $3 x y = e ^ { x } - C e ^ { - x }$
C) $3 x y = e ^ { x } + C e ^ { - x }$
D) $2 x y = e ^ { x } - C e ^ { - x }$
E) $2 x y = e ^ { x } + C e ^ { - x }$

Question 62

The general solution of the first-order differential equation $y ^ { \prime } + ( \cot x ) y = \sec x$ is

A) $y \sin x = \ln ( \operatorname { cosc } x ) + C$
B) $y \cos x = \ln ( \sec x ) + C$
C) $y \sin x = \ln ( \sec x ) + C$
D) $y \cos x = \ln ( \cos x ) + C$
E) $y \sec x = \ln ( \sin x ) + C$

Question 63

The general solution of the first-order differential equation $\left( x ^ { 2 } + 1 \right) y ^ { \prime } - x y = 1$ is

A) $y = 2 x + C \sqrt { x ^ { 2 } + 1 }$
B) $y = 3 x + C \sqrt { x ^ { 2 } + 1 }$
C) $y = - x + C \sqrt { x ^ { 2 } + 1 }$
D) $y = x + C \sqrt { x ^ { 2 } + 1 }$
E) $y = x - C \sqrt { x ^ { 2 } + 1 }$

Question 64

The general solution of the first-order differential equation $( x + 1 ) y ^ { \prime } - 2 y = ( x + 1 ) ^ { 4 }$ is

A) $2 y = ( x + 1 ) ^ { 4 } + C ( x + 1 ) ^ { 2 }$
B) $2 y = ( x + 1 ) ^ { 4 } - C ( x + 1 ) ^ { 2 }$
C) $3 y = ( x + 1 ) ^ { 4 } + C ( x + 1 ) ^ { 2 }$
D) $3 y = ( x + 1 ) ^ { 4 } - C ( x + 1 ) ^ { 2 }$
E) $4 y = ( x + 1 ) ^ { 4 } + C ( x + 1 ) ^ { 2 }$

Question 65

The general solution of the first-order differential equation $\left( x ^ { 3 } + x \right) y ^ { \prime } + 4 x ^ { 2 } y = 2$ is

A) $2 y \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = x ^ { 2 } + 2 \ln x + C$
B) $x \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = x ^ { 2 } - 2 \ln x + C$
C) $y \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = x ^ { 2 } + 2 \ln x + C$
D) $y \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = x ^ { 2 } - 2 \ln x + C$
E) $x \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = x ^ { 2 } + 2 \ln x + C$

Question 66

The general solution of the first-order differential equation $x ^ { 2 } y ^ { \prime } + ( 1 - 2 x ) y = x ^ { 2 }$ is

A) $y = x ^ { 2 } \left( 1 - C e ^ { \frac { 1 } { x } } \right)$
B) $y = x ^ { 2 } \left( 1 + C e ^ { \frac { 1 } { x } } \right)$
C)
D) $y = 2 x ^ { 2 } \left( 1 - C e ^ { \frac { 1 } { x } } \right)$
E) $y = 3 x ^ { 2 } \left( 1 + C e ^ { \frac { 1 } { x } } \right)$

Question 67

The general solution of the first-order differential equation $\left( x ^ { 2 } - 1 \right) y ^ { \prime } - x y = x ^ { 3 } - 2 x$ is

A) $y = x ^ { 2 } + C \sqrt { x ^ { 2 } - 1 }$
B) $y = - x ^ { 2 } + C \sqrt { x ^ { 2 } - 1 }$
C) $y = 2 x ^ { 2 } + C \sqrt { x ^ { 2 } - 1 }$
D) $y = - 2 x ^ { 2 } + C \sqrt { x ^ { 2 } - 1 }$
E) $y = 3 x ^ { 2 } + C \sqrt { x ^ { 2 } - 1 }$

Question 68

The general solution of the first-order differential equation $y d x - \left( 3 x + y ^ { 4 } \right) d y = 0$ is

A) $x = y ^ { 3 } + C y ^ { 3 }$
B) $x = y ^ { 3 } - C y ^ { 4 }$
C) $x = y ^ { 3 } + C y ^ { 4 }$
D) $x = y ^ { 4 } + C y ^ { 3 }$
E) $x = - y ^ { 4 } + C y ^ { 3 }$

Question 69

The general solution of the Bernoulli equation $3 \left( 1 + x ^ { 2 } \right) y ^ { \prime } + 2 x y = 2 x y ^ { 4 }$ is

A) $y ^ { - 4 } = 1 + C \left( 1 + x ^ { 2 } \right)$
B) $y ^ { 2 } = 1 + C \left( 1 + x ^ { 2 } \right)$
C) $y ^ { 3 } = 1 + C \left( 1 + x ^ { 2 } \right)$
D) $y ^ { - 2 } = 1 + C \left( 1 + x ^ { 2 } \right)$
E) $y ^ { - 3 } = 1 + C \left( 1 + x ^ { 2 } \right)$

Question 70

The general solution of the first-order differential equation $x y ^ { \prime } - y \ln y = x ^ { 2 } y$ is

A) $\ln y = x ^ { 2 } + C x ^ { 3 }$
B) $\ln y = x ^ { 3 } + C x$
C) $\ln y = x ^ { 2 } + C x$
D) $- \ln y = x ^ { 2 } + C x$
E) $\ln x = y ^ { 2 } + C x$

Question 71

The general solution of the first-order differential equation $y y ^ { \prime } + x y ^ { 2 } = x ^ { 3 }$ is

A) $y ^ { 3 } = x ^ { 3 } - 1 + C e ^ { - x ^ { 2 } }$
B) $y ^ { 2 } = x ^ { 3 } - 1 + C e ^ { - x ^ { 2 } }$
C) $y ^ { 2 } = x ^ { 2 } - 1 + C e ^ { - x ^ { 2 } }$
D) $y ^ { 2 } = - x ^ { 2 } + 1 + C e ^ { - x ^ { 2 } }$
E) $y ^ { 3 } = x ^ { 2 } - 1 + C e ^ { - x ^ { 2 } }$

Question 72

The general solution of the first-order differential equation $\sin y y ^ { \prime } + \sin x \cos y = \sin x$ is

A) $\cos y = 1 + C e ^ { - \cot x }$
B) $\sin y = 1 + C e ^ { - \sin x }$
C) $\cos y = 1 + C e ^ { - \sin x }$
D) $\sin y = 1 + C e ^ { - \cos x }$
E) $\cos y = 1 + C e ^ { - \cos x }$

Question 73

The general solution of the Bernoulli equation $4 x y ^ { \prime } + 3 y + e ^ { x } x ^ { 4 } y ^ { 5 } = 0$ is

A) $x ^ { 3 } y ^ { 2 } \left( e ^ { x } + C \right) = 1$
B) $x ^ { 2 } 3 \left( e ^ { x } + C \right) = 1$
C) $x ^ { 3 } y ^ { 4 } \left( e ^ { x } + C \right) = 1$
D) $x ^ { 3 } y ^ { 3 } \left( e ^ { x } + C \right) = 1$
E) $x ^ { 4 } y ^ { 4 } \left( e ^ { x } + C \right) = 1$

Question 74

The general solution of the Bernoulli equation $\left( 1 - x ^ { 3 } \right) y ^ { \prime } - 2 ( 1 + x ) y = y ^ { \frac { 3 } { 2 } }$ is

A) $3 y ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \left( 1 + x + x ^ { 2 } \right) + 2 = C ( 1 - x ) ^ { 2 }$
B) $4 y ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \left( 1 - x - x ^ { 2 } \right) + 3 = C ( 1 - x ) ^ { 2 }$
C) $4 y ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \left( 1 + x + x ^ { 2 } \right) + 3 = C ( 1 - x ) ^ { 2 }$
D) $4 y ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \left( 1 - x + x ^ { 2 } \right) + 3 = C ( 1 - x ) ^ { 2 }$
E) $4 y ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \left( 1 + x - x ^ { 2 } \right) + 3 = C ( 1 - x ) ^ { 2 }$

Question 75

The general solution of the first-order differential equation $y ^ { \prime } + y \cot x = 3 e ^ { \cos x }$ is

A) $y \cos x = 3 e ^ { \cos x } + C$
B) $y \sin x = 3 e ^ { \cos x } + C$
C) $y \cos x = - 3 e ^ { \sin x } + C$
D) $y \sin x = - 3 e ^ { \sin x } + C$
E) $y \sin x = - 3 e ^ { \cos x } + C$

Question 76

The general solution of the first-order differential equation $x ^ { 3 } y ^ { \prime } + \left( 2 - 3 x ^ { 2 } \right) y = x ^ { 3 }$ is

A) $2 y = x ^ { 2 } \left( 1 + C e ^ { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right)$
B) $2 y = x ^ { 3 } \left( 1 + C e ^ { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right)$
C) $2 y = - x ^ { 3 } \left( 1 + C e ^ { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right)$
D) $2 y = - x ^ { 2 } \left( 1 + C e ^ { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right)$
E) $3 y = x ^ { 3 } \left( 1 + C e ^ { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right)$

Question 77

The general solution of the Bernoulli equation $x y ^ { \prime } + y = y ^ { 2 } \ln x$ is

A) $\frac { 1 } { y } = 3 \ln x + 1 + C x$
B) $\frac { 1 } { y } = 2 \ln x - 1 + C x$
C) $\frac { 1 } { y } = 2 \ln x + 1 + C x$
D) $\frac { 1 } { y } = \ln x + 1 + C x$
E) $\frac { 1 } { y } = \ln x - 1 + C x$

Question 78

The general solution of the Bernoulli equation $y ^ { \prime } + \left( \frac { x } { 1 - x ^ { 2 } } \right) y = x y ^ { \frac { 1 } { 2 } }$ is

A) $\sqrt { y } = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { - 4 } + C \left( x ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } }$
B) $\sqrt { y } = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { - 2 } + C \left( x ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } }$
C) $\sqrt { y } = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { 4 } + C \left( x ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } }$
D) $\sqrt { y } = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { 2 } + C \left( x ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } }$
E) $\sqrt { y } = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { 3 } + C \left( x ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } }$

Question 79

The general solution of the first-order differential equation $x y ^ { \prime } = x ^ { 2 } + 3 y$ is

A) $y = - 3 x ^ { 2 } + C x ^ { 3 }$
B) $y = - x ^ { 2 } + C x ^ { 3 }$
C) $y = - 2 x ^ { 2 } + C x ^ { 3 }$
D) $y = - 5 x ^ { 2 } + C x ^ { 3 }$
E) $y = - 4 x ^ { 2 } + C x ^ { 3 }$

Question 80

The general solution of the Bernoulli equation $y ^ { \prime } + 2 x y + x y ^ { 4 } = 0$ is

A) $y ^ { 3 } = - \frac { 1 } { 2 } + C e ^ { 3 x ^ { 2 } }$
B) $y ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } + C e ^ { 3 x ^ { 2 } }$
C) $y ^ { - 1 } = - \frac { 1 } { 2 } + C e ^ { 3 x ^ { 2 } }$
D) $y ^ { - 3 } = - \frac { 1 } { 2 } + C e ^ { 3 x ^ { 2 } }$
E) $y ^ { - 2 } = - \frac { 1 } { 2 } + C e ^ { 3 x ^ { 2 } }$