Deck 16: Vector Calculus

Question 1

The domain of the vector field $\mathbf { F } ( x , y ) = \frac { 1 } { x } \mathbf { i } + \frac { 1 } { y } \mathbf { j }$ is

A) $\{ ( x , y ) : x y \neq 0 \}$
B) $\{ ( x , y ) : ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \}$
C) $\{ ( x , y ) : x \neq 0 \}$
D) $\{ ( x , y ) : y \neq 0 \}$
E) $\{ ( x , y ) : x y > 0 \}$

Answer 1

$\{ ( x , y ) : x y \neq 0 \}$

Question 2

The domain of the vector field $\mathbf { F } ( x , y ) = \sqrt { 1 - x } \mathbf { i } + \ln y \mathbf { j }$ is

A) $\{ ( x , y ) : x y \neq 0 \}$
B) $\{ ( x , y ) : x \langle 1 , y \rangle 0 \}$
C) $\{ ( x , y ) : x \leq 1 , y > 0 \}$
D) $\{ ( x , y ) : x > 1 , y > 0 \}$
E) $\{ ( x , y ) : x < 1 , y \geq 0 \}$

Answer 2

$\{ ( x , y ) : x \leq 1 , y > 0 \}$

Question 3

The domain of the vector field $\mathbf { F } ( x , y ) = \sqrt { x y } \mathbf { i } + \frac { 5 } { x y } \mathbf { j }$ is

A) $\{ ( x , y ) : x y \neq 0 \}$
B) $\{ ( x , y ) : x y > 0 \}$
C) $\{ ( x , y ) : x y \geq 0 \}$
D) $\{ ( x , y ) : x > 0 , y > 0 \}$
E) $\{ ( x , y ) : x < 0 , y < 0 \}$

Answer 3

$\{ ( x , y ) : x y > 0 \}$

Question 4

The domain of the vector field $\mathbf { F } ( x , y ) = \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { 5 } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { j }$ is

A) $\{ ( x , y ) : ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \}$
B) $\{ ( x , y ) : x > | y | \}$
C) $\{ ( x , y ) : x \neq - y \}$
D) $\{ ( x , y ) : x \neq y \}$
E) $\{ ( x , y ) : x \neq | y | \}$

Question 5

The domain of the vector field $\mathbf { F } ( x , y ) = \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \mathbf { i } + \ln y \mathbf { j }$ is

A) $\{ ( x , y ) : x \langle 1 , y \rangle 0 \}$
B) $\{ ( x , y ) : x y > 0 \}$
C) $\{ ( x , y ) : - 1 \leq x \leq 1 , y > 0 \}$
D) $\{ ( x , y ) : x \leq 1 , y \geq 0 \}$
E) $\{ ( x , y ) : - 1 \leq x \langle 1 , y \rangle 0 \}$

Question 6

The domain of the vector field $\mathbf { F } ( x , y ) = \sin ( x + y ) \mathbf { i } - \frac { 5 } { x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } } \mathbf { j }$ is

A) $\{ ( x , y ) : x \neq y \}$
B) $\{ ( x , y ) : x y > 0 \}$
C) $\{ ( x , y ) : x \neq | y | \}$
D) $\{ ( x , y ) : x > 1 , y > 0 \}$
E) $\{ ( x , y ) : x \geq | y | \}$

Question 7

The domain of the vector field $\mathbf { F } ( x , y , z ) = \frac { y z } { e ^ { y z } } \mathbf { i } + \frac { x z } { e ^ { x z } } \mathbf { j } + \frac { x y } { e ^ { z y } } \mathbf { k }$ is

A) $\{ ( x , y , z ) : x \neq y \}$
B) $\{ ( x , y , z ) : x y \neq 0 \}$
C) $\{ ( x , y , z ) : - \infty < x < \infty , - \infty < y < \infty , - \infty < z < \infty \}$
D) $\{ ( x , y , z ) : x z > 0 \}$
E) $\{ ( x , y , z ) : y z \neq 0 \}$

Question 8

The domain of the vector field $\mathbf { F } ( x , y , z ) = \ln x \mathbf { i } + \ln y \mathbf { j } + \ln z \mathbf { k }$ is

A) $\{ ( x , y , z ) : x > y > z > 0 \}$
B) $\{ ( x , y , z ) : x y > 0 \}$
C) $\{ ( x , y , z ) : x z > 0 \}$
D) $\{ ( x , y , z ) : y z > 0 \}$
E) $\{ ( x , y , z ) : x > 0 , y > 0 , z > 0 \}$

Question 9

Let $f ( x , y ) = \sin x + x y + \cos y .$ Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = ( \cos x + y ) \mathbf { i } - ( x + \sin y ) \mathbf { j }$
B) $\nabla f ( x , y ) = ( \cos x + y ) \mathbf { i } + ( x + \sin y ) \mathbf { j }$
C) $\nabla f ( x , y ) = ( \cos x - y ) \mathbf { i } + ( x - \sin y ) \mathbf { j }$
D) $\nabla f ( x , y ) = ( \cos x + y ) \mathbf { i } + ( x - \sin y ) \mathbf { j }$
E) $\nabla f ( x , y ) = ( \cos x + y ) \mathbf { i } - ( x - \sin y ) \mathbf { j }$

Question 10

Let $f ( x , y ) = e ^ { x } \sin y + e ^ { y } \cos x$ Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = \left( e ^ { x } \sin y - e ^ { y } \sin x \right) \mathbf { i } + \left( e ^ { x } \cos y + e ^ { y } \cos x \right) \mathbf { j }$
B) $\nabla f ( x , y ) = \left( e ^ { x } \sin y - e ^ { y } \sin x \right) \mathbf { i } - \left( e ^ { x } \cos y + e ^ { y } \cos x \right) \mathbf { j }$
C) $\nabla f ( x , y ) = \left( e ^ { x } \sin y - e ^ { y } \sin x \right) \mathbf { i } + \left( e ^ { x } \cos y - e ^ { y } \cos x \right) \mathbf { j }$
D) $\nabla f ( x , y ) = \left( e ^ { x } \sin y + e ^ { y } \sin x \right) \mathbf { i } + \left( e ^ { x } \cos y + e ^ { y } \cos x \right) \mathbf { j }$
E) $\nabla f ( x , y ) = \left( e ^ { x } \sin y + e ^ { y } \sin x \right) \mathbf { i } + \left( e ^ { x } \cos y - e ^ { y } \cos x \right) \mathbf { j }$

Question 11

Let $f ( x , y ) = x \sin y + y \cos x$ Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = ( \sin y - y \cos x ) \mathbf { i } + ( x \cos y - \cos x ) \mathbf { j }$
B) $\nabla f ( x , y ) = ( \sin y - y \cos x ) \mathbf { i } + ( x \cos y + \cos x ) \mathbf { j }$
C) $\nabla f ( x , y ) = ( \sin y + y \cos x ) \mathbf { i } + ( x \cos y - \cos x ) \mathbf { j }$
D) $\nabla f ( x , y ) = ( \sin y + y \cos x ) \mathbf { i } - ( x \cos y + \cos x ) \mathbf { j }$
E) $\nabla f ( x , y ) = ( \sin y \pm y \sin x ) \mathbf { i } + ( x \cos y + \cos x ) \mathbf { j }$

Question 12

Let $f ( x , y ) = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { y } { x } \right)$ . Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { j }$
B) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { i } - \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { j }$
C) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { j }$
D) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { y } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { j }$
E) $\nabla f ( x , y ) = \frac { y } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } \mathbf { j }$

Question 13

Let $f ( x , y ) = 2 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 }$ . Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } - 6 x y + y ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + \left( 2 x y - 3 x ^ { 2 } \right) \mathbf { j }$
B) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } - 6 x y + y ^ { 2 } \right) \mathbf { i } - \left( 2 x y - 3 x ^ { 2 } \right) \mathbf { j }$
C) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } - 6 x y - y ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + \left( 2 x y - 3 x ^ { 2 } \right) \mathbf { j }$
D) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } - 6 x y + y ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + \left( 2 x y + 3 x ^ { 2 } \right)$
E) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } - 6 x y - y ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + \left( 2 x y + 3 x ^ { 2 } \right) \mathbf { j }$

Question 14

Let $f ( x , y ) = \ln \left( \frac { y } { x } \right) + e ^ { \frac { y } { x } }$ . Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = \frac { x + y e ^ { \frac { y } { x } } } { x ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x + y e ^ { \frac { y } { x } } } { x y } \mathbf { j }$
B) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { x + y e ^ { \frac { y } { x } } } { x ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x + y e ^ { \frac { y } { x } } } { x y } \mathbf { j }$
C) $\nabla f ( x , y ) = \frac { x + y e ^ { \frac { y } { x } } } { x ^ { 2 } } \mathbf { i } - \frac { x + y e ^ { \frac { y } { x } } } { x y } \mathbf { j }$
D) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { x + y e ^ { \frac { y } { x } } } { x ^ { 2 } } \mathbf { i } - \frac { x + y e ^ { \frac { y } { x } } } { x y } \mathbf { j }$
E) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { x + y e ^ { \frac { y } { x } } } { x ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { x - y e ^ { \frac { y } { x } } } { x y } \mathbf { j }$

Question 15

Let $f ( x , y ) = 2 x ^ { 3 } y + 7 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 5 x y ^ { 3 }$ . Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } y - 14 x y ^ { 2 } + 5 y ^ { 3 } \right) \mathbf { i } + \left( 2 x ^ { 3 } + 14 x ^ { 2 } y - 15 x y ^ { 2 } \right) \mathbf { j }$
B) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } y + 14 x y ^ { 2 } - 5 y ^ { 3 } \right) \mathbf { i } + \left( 2 x ^ { 3 } - 14 x ^ { 2 } y - 15 x y ^ { 2 } \right) \mathbf { j }$
C) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } y - 14 x y ^ { 2 } - 5 y ^ { 3 } \right) \mathbf { i } + \left( 2 x ^ { 3 } + 14 x ^ { 2 } y - 15 x y ^ { 2 } \right) \mathbf { j }$
D) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } y + 14 x y ^ { 2 } - 5 y ^ { 3 } \right) \mathbf { i } + \left( 2 x ^ { 3 } + 14 x ^ { 2 } y - 15 x y ^ { 2 } \right) \mathbf { j }$
E) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } y + 14 x y ^ { 2 } - 5 y ^ { 3 } \right) \mathbf { i } - \left( 2 x ^ { 3 } + 14 x ^ { 2 } y - 15 x y ^ { 2 } \right) \mathbf { j }$

Question 16

Let $f ( x , y , z ) = \ln ( x y z )$ . Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = \frac { 1 } { x } \mathbf { i } - \frac { 1 } { y } \mathbf { j } + \frac { 1 } { z } \mathbf { k }$
B) $\nabla f ( x , y ) = \frac { 1 } { x } \mathbf { i } + \frac { 1 } { y } \mathbf { j } + \frac { 1 } { z } \mathbf { k }$
C) $\nabla f ( x , y ) = \frac { 1 } { x } \mathbf { i } + \frac { 1 } { y } \mathbf { j } - \frac { 1 } { z } \mathbf { k }$
D) $\nabla f ( x , y ) = \frac { 1 } { x } \mathbf { i } - \frac { 1 } { y } \mathbf { j } - \frac { 1 } { z } \mathbf { k }$
E) $\nabla f ( x , y ) = - \frac { 1 } { x } \mathbf { i } + \frac { 1 } { y } \mathbf { j } + \frac { 1 } { z } \mathbf { k }$

Question 17

Let $f ( x , y , z ) = \ln \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right)$ . Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y , z ) = - \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { 2 y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { j } + \frac { 2 z } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { k }$
B) $\nabla f ( x , y , z ) = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { i } - \frac { 2 y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { j } - \frac { 2 z } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { k }$
C) $\nabla f ( x , y , z ) = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { 2 y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { j } - \frac { 2 z } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { k }$
D) $\nabla f ( x , y , z ) = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { i } - \frac { 2 y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { j } + \frac { 2 z } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { k }$
E) $\nabla f ( x , y , z ) = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { 2 y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { j } + \frac { 2 z } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \mathbf { k }$

Question 18

Let $f ( x , y , z ) = \sqrt { x ^ { 2 } + 3 y z - z ^ { 2 } }$ . Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = \frac { 2 x \mathbf { i } + 3 z \mathbf { j } + ( 3 y - 2 z ) \mathbf { k } } { 2 \sqrt { x ^ { 2 } + 3 y z - z ^ { 2 } } }$
B) $\nabla f ( x , y ) = \frac { 2 x \mathbf { i } + 3 z \mathbf { j } - ( 3 y - 2 z ) \mathbf { k } } { 2 \sqrt { x ^ { 2 } + 3 y z - z ^ { 2 } } }$
C) $\nabla f ( x , y ) = \frac { 2 x \mathbf { i } - 3 z \mathbf { j } + ( 3 y - 2 z ) \mathbf { k } } { 2 \sqrt { x ^ { 2 } + 3 y z - z ^ { 2 } } }$
D) $\nabla f ( x , y ) = \frac { 2 \boldsymbol { x } \mathbf { i } - 3 z \mathbf { j } - ( 3 y - 2 z ) \mathbf { k } } { 2 \sqrt { x ^ { 2 } + 3 y z - z ^ { 2 } } }$
E) $\nabla f ( x , y ) = \frac { 2 x \mathbf { i } + 3 z \mathbf { j } + ( 3 y + 2 z ) \mathbf { k } } { 2 \sqrt { x ^ { 2 } + 3 y z - z ^ { 2 } } }$

Question 19

Let $f ( x , y , z ) = \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } }$ .Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y , z ) = - \frac { x \mathbf { i } - y \mathbf { j } + z \mathbf { k } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } }$
B) $\nabla f ( x , y , z ) = \frac { x \mathbf { i } + y \mathbf { j } + z \mathbf { k } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } }$
C) $\nabla f ( x , y , z ) = - \frac { x \mathbf { i } + y \mathbf { j } + z \mathbf { k } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } }$
D) $\nabla f ( x , y , z ) = \frac { x \mathbf { i } - y \mathbf { j } + z \mathbf { k } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } }$
E) $\nabla f ( x , y , z ) = - \frac { x \mathbf { i } - y \mathbf { j } - z \mathbf { k } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } }$

Question 20

Let $f ( x , y ) = 2 x ^ { 3 } + x y ^ { 2 } + x z ^ { 2 }$ . Its gradient vector field is

A) $\nabla f ( x , y ) = - \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + 2 x y \mathbf { j } + 2 x z \mathbf { k }$
B) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } - 2 x y \mathbf { j } - 2 x z \mathbf { k }$
C) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + 2 x y \mathbf { j } - 2 x z \mathbf { k }$
D) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } + 2 x y \mathbf { j } + 2 x z \mathbf { k }$
E) $\nabla f ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) \mathbf { i } - 2 x y \mathbf { j } + 2 x z \mathbf { k }$

Question 21

The line integral $\int$ C $( x + y ) d s$ , where C is the curve $x = t , y = 1 - t , 0 \leq t \leq 1 ,$ is

A) $2 \sqrt { 2 }$
B) $\sqrt { 2 }$
C) $3 \sqrt { 2 }$
D) $\sqrt { 3 }$
E) $\frac { 1 } { \sqrt { 2 } }$

Question 22

The line integral $\int$ C $\left( y - x ^ { 2 } \right) d s$ , where C is the curve $x = t , y = 2 t , 0 \leq t \leq 1 \text {, }$ is

A) $2 \sqrt { 5 }$
B) $\sqrt { 5 }$
C) $\frac { 3 \sqrt { 5 } } { 2 }$
D) $\frac { 3 \sqrt { 5 } } { 4 }$
E) $\frac { 2 \sqrt { 5 } } { 3 }$

Question 23

The line integral $\int$ C $x y d s ,$ where C is the curve $x = 4 t , y = t ^ { 2 } , 0 \leq t \leq 2$ is

A) $- \frac { 512 ( 1 + \sqrt { 2 } ) } { 15 }$
B) $\frac { 512 ( 1 + \sqrt { 2 } ) } { 5 }$
C) $\frac { 512 ( 1 - \sqrt { 2 } ) } { 5 }$
D) $\frac { 512 ( 1 + \sqrt { 2 } ) } { 15 }$
E) $\frac { 512 ( 1 - \sqrt { 2 } ) } { 15 }$

Question 24

The line integral $\int$ C $y d s$ where C is the curve $x = 3 t ^ { 2 } , y = t , 0 \leq t \leq 1$ is

A) $\frac { 37 \sqrt { 37 } - 1 } { 108 }$
B) $\frac { 37 \sqrt { 37 } + 1 } { 108 }$
C) $\frac { 37 \sqrt { 37 } - 1 } { 105 }$
D) $\frac { 37 \sqrt { 37 } + 1 } { 105 }$
E) $- \frac { 37 \sqrt { 37 } - 1 } { 108 }$

Question 25

The line integral $\int$ C $( x y + 1 ) d s$ where C is the curve $x = \sin t , y = \cos t , 0 \leq t \leq \pi ,$ is

A) $3 \pi$
B) $2 \pi$
C) $\pi$
D) $\frac { \pi } { 2 }$
E) $\frac { \pi } { 3 }$

Question 26

The line integral $\int$ C $x y ^ { 2 } d s$ where C is the curve $x = \cos t , y = \sin t , 0 \leq t \leq \frac { \pi } { 2 }$ , is

A) $\frac { 7 } { 3 }$
B) $\frac { 5 } { 3 }$
C) $\frac { 4 } { 3 }$
D) $\frac { 2 } { 3 }$
E) $\frac { 1 } { 3 }$

Question 27

The line integral $\int$ C $4 x y d x + \left( 2 x ^ { 2 } - 3 x y \right) d y$ , where C is the line $y = x$ from (0,0) to (2,2), is

A)12
B)8
C)6
D)4
E)2

Question 28

The line integral $\int$ C $\left( x ^ { 2 } + x y \right) d x + \left( y ^ { 2 } - x y \right) d y$ , where C is the curve $2 y = x ^ { 2 }$ from (0,0) to (2,2), is

A) $\frac { 76 } { 15 }$
B) $\frac { 68 } { 15 }$
C) $\frac { 64 } { 15 }$
D) $\frac { 62 } { 15 }$
E) $\frac { 59 } { 15 }$

Question 29

The line integral $\int$ C $\left( x ^ { 2 } + x y \right) d x + \left( y ^ { 2 } - x y \right) d y$ , where C is the line $y = x$ from (0,0) to (2,2), is

A) $\frac { 32 } { 3 }$
B) $\frac { 28 } { 3 }$
C) $\frac { 16 } { 3 }$
D) $\frac { 14 } { 3 }$
E) $\frac { 13 } { 3 }$

Question 30

The line integral $\int$ C $( x y - z ) d x + e ^ { x } d y + y d z$ , where C is the line segment from (1,0,0) to (3,4,8), is

A) $\frac { 6 \left( e ^ { 3 } + e \right) + 52 } { 3 }$
B) $\frac { 6 \left( e ^ { 3 } - e \right) + 52 } { 3 }$
C) $\frac { 6 \left( e ^ { 3 } + e \right) - 52 } { 3 }$
D) $- \frac { 6 \left( e ^ { 3 } + e \right) + 52 } { 3 }$
E) $\frac { 6 \left( e ^ { 3 } + e \right) + 52 } { 5 }$

Question 31

The line integral $\int$ C $( x + y ) d x + ( y + z ) d y + ( x + z ) d z$ , where C is the line segment from (0,0,0) to (1,2,4), is

A) $\frac { 39 } { 2 }$
B) $\frac { 37 } { 2 }$
C) $\frac { 35 } { 2 }$
D) $\frac { 33 } { 2 }$
E) $\frac { 31 } { 2 }$

Question 32

The line integral $\int$ C $3 x d x + 2 x y d y + d z$ where C is the curve is

A) $4 \pi$
B) $3 \pi$
C) $2 \pi$
D) $\pi$
E) $\frac { \pi } { 2 }$

Question 33

Let $\mathbf { F } ( x , y ) = y \mathbf { i } + x \mathbf { j } , \mathbf { r } ( t ) = 3 t ^ { 2 } \mathbf { i } - t \mathbf { j } , 0 \leq t \leq 1$ Then $\int$ C $\mathbf { F } \bullet d \mathbf { r }$ is

A) $- 3$
B)2
C) $\frac { 5 } { 2 }$
D)3
E) $\frac { 7 } { 2 }$

Question 34

Let $\mathbf { F } ( x , y ) = 2 x y \mathbf { i } + 3 x \mathbf { j } , \mathbf { r } ( t ) = 3 t ^ { 2 } \mathbf { i } - t \mathbf { j } , 0 \leq t \leq 1$ . Then $\int$ C $\mathbf { F } \bullet d \mathbf { r }$ is

A) $- \frac { 26 } { 5 }$
B) $- \frac { 23 } { 5 }$
C) $- \frac { 21 } { 5 }$
D) $- \frac { 19 } { 5 }$
E) $- \frac { 51 } { 5 }$

Question 35

Let $\mathbf { F } ( x , y ) = 2 x y \mathbf { i } + ( x - 2 y ) \mathbf { j } , \mathbf { r } ( t ) = \sin t \mathbf { i } - 2 \cos t \mathbf { j } , 0 \leq t \leq \pi$ . Then $\int$ C $\mathbf { F } \bullet d \mathbf { r }$ is

A) $\frac { 3 \pi - 8 } { 7 }$
B) $\frac { 3 \pi + 8 } { 5 }$
C) $\frac { 3 \pi - 8 } { 5 }$
D) $\frac { 3 \pi + 8 } { 3 }$
E) $\frac { 3 \pi - 8 } { 3 }$

Question 36

Let $\mathbf { F } ( x , y ) = y \sin x \mathbf { i } - \cos x \mathbf { j }$ where C is the line segment from $\left( \frac { \pi } { 2 } , 0 \right)$ to $( \pi , 1 )$ . Then $\int$ C $\mathbf { F } \bullet d \mathbf { r }$ is

A)1
B)2
C) $\frac { 5 } { 2 }$
D)3
E) $\frac { 7 } { 2 }$

Question 37

Let $\mathbf { F } ( x , y ) = 9 x ^ { 2 } y \mathbf { i } + \left( 5 x ^ { 2 } - y \right) \mathbf { j }$ , where C is the $y = x ^ { 3 } + 1$ from (1,2) to (3,28). Then $\int$ C $\mathbf { F } \bullet d \mathbf { r }$ is

A)188
B)376
C)758
D)1506
E)3012

Question 38

Let $\mathbf { F } ( x , y , z ) = z \mathbf { i } + x \mathbf { j } + y \mathbf { k } , \mathbf { r } ( t ) = \cos t \mathbf { i } + \sin t \mathbf { j } + t \mathbf { k } , 0 \leq t \leq 2 \pi$ . Then $\int$ C $\mathbf { F } \bullet d \mathbf { r }$ is

A) $4 \pi$
B) $3 \pi$
C) $2 \pi$
D) $\pi$
E) $\frac { \pi } { 2 }$

Question 39

Let $\mathbf { F } ( x , y , z ) = e ^ { x } \mathbf { i } + x e ^ { z } \mathbf { j } + x \sin \pi y ^ { 2 } \mathbf { k } , \mathbf { r } ( t ) = \cos t \mathbf { i } + \sin t \mathbf { j } + t \mathbf { k } , 0 \leq t \leq 2 \pi$ . Then $\int$ C $\mathbf { F } \bullet d \mathbf { r }$ is

A) $\frac { 3 \left( e ^ { 2 \pi } + 1 \right) } { 5 }$
B) $\frac { 3 \left( e ^ { 2 \pi } - 1 \right) } { 5 }$
C) $- \frac { 3 \left( e ^ { 2 \pi } - 1 \right) } { 5 }$
D) $- \frac { 3 \left( e ^ { 2 \pi } + 1 \right) } { 5 }$
E) $\frac { 2 \left( e ^ { 2 \pi } - 1 \right) } { 5 }$

Question 40

Let $\mathbf { F } ( x , y , z ) = 2 x y \mathbf { i } + \left( 6 y ^ { 2 } - x z \right) \mathbf { j } + 10 z \mathbf { k } , \mathbf { r } ( t ) = t \mathbf { i } + t ^ { 2 } \mathbf { j } + t ^ { 3 } \mathbf { k } , 0 \leq t \leq 1$ . Then $\int$ C $\mathbf { F } \bullet d \mathbf { r }$ is

A) $\frac { 35 } { 6 }$
B) $\frac { 37 } { 6 }$
C) $\frac { 41 } { 6 }$
D) $\frac { 43 } { 6 }$
E) $\frac { 47 } { 6 }$

Question 41

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = 3 y \mathbf { i } + 4 x \mathbf { j }$ moving along $\mathbf { r } ( t ) = 2 t ^ { 2 } \mathbf { i } - t \mathbf { j }$ with $0 \leq t \leq 1$ is

A) $- \frac { 20 } { 7 }$
B) $\frac { 20 } { 7 }$
C) $- \frac { 20 } { 3 }$
D) $\frac { 20 } { 3 }$
E) 5
4

Question 42

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = - ( x + y ) \mathbf { i } - ( y - x ) \mathbf { j }$ moving along $\mathbf { r } ( t ) = t ^ { 3 } \mathbf { i } + t ^ { 2 } \mathbf { j }$ from (8, 4) to (1, 1) is

A) $\frac { 176 } { 5 }$
B) $\frac { 186 } { 5 }$
C) $\frac { 196 } { 5 }$
D) $\frac { 221 } { 5 }$
E) $\frac { 226 } { 5 }$

Question 43

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = ( 2 x + 3 y ) \mathbf { i } + x y \mathbf { j }$ moving along $\mathbf { r } ( t ) = 4 \sin t \mathbf { i } - \cos t \mathbf { j }$ with $0 \leq t \leq \frac { \pi } { 2 }$ is

A) $\frac { 44 + 9 \pi } { 3 }$
B) $\frac { 44 - 9 \pi } { 3 }$
C) $\frac { 44 - 6 \pi } { 3 }$
D) $\frac { 44 + 6 \pi } { 3 }$
E) $\frac { 44 - 3 \pi } { 3 }$

Question 44

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = ( 2 x + y ) \mathbf { i } + ( x - 2 y ) \mathbf { j }$ moving along $\mathbf { r } ( t ) = 3 \cos t \mathbf { i } + 3 \sin t \mathbf { j }$ with $0 \leq t \leq 2 \pi$ is

A) $\frac { 5 } { 2 }$
B) $\frac { 8 } { 3 }$
C) $\frac { 4 } { 3 }$
D)0
E) $\frac { 4 } { 5 }$

Question 45

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = 2 x y \mathbf { i } + \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) \mathbf { j }$ moving along y = x from (0, 0) to (1, 1) is

A) $\frac { 4 } { 3 }$
B) $\frac { 8 } { 3 }$
C) $\frac { 5 } { 2 }$
D)0
E) $2$

Question 46

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = 2 x y \mathbf { i } + \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) \mathbf { j }$ moving along $y ^ { 2 } = x$ from (0, 0) to (1, 1) is

A) $\frac { 5 } { 2 }$
B) $\frac { 8 } { 3 }$
C) $\frac { 4 } { 3 }$
D)0
E) $\frac { 4 } { 5 }$

Question 47

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = ( y - x ) \mathbf { i } + x ^ { 2 } y \mathbf { j }$ moving along $y = 3 x - 2$ from (1, 1) to (2, 4) is

A) $\frac { 85 } { 4 }$
B) $\frac { 83 } { 4 }$
C) $\frac { 81 } { 4 }$
D) $\frac { 77 } { 4 }$
E) $\frac { 71 } { 5 }$

Question 48

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = ( y - x ) \mathbf { i } + x ^ { 2 } y \mathbf { j }$ moving along $y = x ^ { 2 }$ from (1, 1) to (2, 4) is

A) $\frac { 131 } { 6 }$
B) $\frac { 121 } { 6 }$
C) $\frac { 111 } { 6 }$
D) $\frac { 101 } { 6 }$
E) $\frac { 11 } { 6 }$

Question 49

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = ( y - x ) \mathbf { i } + x ^ { 2 } y \mathbf { j }$ moving along the line segment from (1, 1) to (2, 2) and then the line segment from (2, 2) to (2, 4) is

A) $\frac { 141 } { 4 }$
B) $\frac { 131 } { 4 }$
C) $\frac { 121 } { 4 }$
D) $\frac { 111 } { 4 }$
E) $\frac { 11 } { 4 }$

Question 50

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = - x ^ { 2 } y \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j }$ moving along the line segment from (1, 0) to (0, 1) is

A) $\frac { 25 } { 12 }$
B) $\frac { 23 } { 12 }$
C) $\frac { 19 } { 12 }$
D) $\frac { 17 } { 12 }$
E) $\frac { 13 } { 12 }$

Question 51

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = - x ^ { 2 } y \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j }$ moving along $\mathbf { r } ( t ) = \cos t \mathbf { i } + \sin t \mathbf { j }$ with $0 \leq t \leq \frac { \pi } { 2 }$ is

A) $\frac { 16 - \pi } { 8 }$
B) $\frac { \pi + 16 } { 8 }$
C) $\frac { \pi + 16 } { 16 }$
D) $\frac { 16 - \pi } { 16 }$
E) $\frac { \pi + 16 } { 32 }$

Question 52

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = - x ^ { 2 } y \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j }$ moving along the line segment from (1, 0) to (1, 1) and then the line segment from (1, 1) to (0, 1) is

A) $\frac { 5 } { 2 }$
B) $\frac { 8 } { 3 }$
C) $\frac { 4 } { 3 }$
D)0
E) $\frac { 4 } { 5 }$

Question 53

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = - x ^ { 2 } y \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j }$ moving along the line segment from (2, 0) to (0, 2) is

A) $\frac { 31 } { 3 }$
B) $\frac { 28 } { 3 }$
C) $\frac { 26 } { 3 }$
D) $\frac { 22 } { 3 }$
E) $\frac { 16 } { 3 }$

Question 54

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = - x ^ { 2 } y \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j }$ moving along $\mathbf { r } ( t ) = 2 \cos t \mathbf { i } + 2 \sin t \mathbf { j }$ with $0 \leq t \leq \frac { \pi } { 2 }$ is

A) $\frac { \pi + 4 } { 3 }$
B) $\frac { \pi + 4 } { 2 }$
C) $\pi + 4$
D) $2 ( \pi + 4 )$
E) $3 ( \pi + 4 )$

Question 55

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = - x ^ { 2 } y \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j }$ moving along the line segment from (2, 0) to (2, 2) and then the line segment from (2, 2) to (0, 2) is

A) $\frac { 34 } { 3 }$
B) $\frac { 32 } { 3 }$
C) $\frac { 28 } { 3 }$
D) $\frac { 26 } { 3 }$
E) $\frac { 25 } { 3 }$

Question 56

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = - x ^ { 2 } y \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j }$ moving along the line segment from (3, 0) to (0, 3) is

A) $\frac { 71 } { 4 }$
B) $\frac { 69 } { 4 }$
C) $\frac { 67 } { 4 }$
D) $\frac { 65 } { 4 }$
E) $\frac { 63 } { 4 }$

Question 57

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = - x ^ { 2 } y \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j }$ moving along $\mathbf { r } ( t ) = 3 \cos t \mathbf { i } + 3 \sin t \mathbf { j }$ with $0 \leq t \leq \frac { \pi } { 2 }$ is

A) $\frac { 9 ( 9 \pi + 16 ) } { 8 }$
B) $\frac { 9 ( 9 \pi - 16 ) } { 8 }$
C) $\frac { 9 ( 9 \pi + 16 ) } { 16 }$
D) $\frac { 9 ( 9 \pi - 16 ) } { 16 }$
E) $\frac { 9 ( 9 \pi + 16 ) } { 4 }$

Question 58

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = - x ^ { 2 } y \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j }$ moving along the line segment from (3, 0) to (3, 3) and then the line segment from (3, 3) to (0, 3) is

A)48
B)42
C)36
D)33
E)30

Question 59

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = - x ^ { 2 } y \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j }$ moving along the line segment from (4, 0) to (0, 4) is

A) $\frac { 127 } { 3 }$
B) $\frac { 125 } { 3 }$
C) $\frac { 124 } { 3 }$
D) $\frac { 121 } { 3 }$
E) $\frac { 112 } { 3 }$

Question 60

The work done by the force $\mathbf { F } ( x , y ) = - x ^ { 2 } y \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j }$ moving along $\mathbf { r } ( t ) = 4 \cos t \mathbf { i } + 4 \sin t \mathbf { j }$ with $0 \leq t \leq \frac { \pi } { 2 }$ is

A) $4 ( \pi + 1 )$
B) $8 ( \pi + 1 )$
C) $16 ( \pi + 1 )$
D) $22 ( \pi + 1 )$
E) $24 ( \pi + 1 )$

Question 61

If $\mathbf { F } ( x , y ) = e ^ { y ^ { 2 } } \cos x \mathbf { i } + 2 y e ^ { y ^ { 2 } } \sin x \mathbf { j }$ is a conservative field, then its potential function $f ( x , y )$ is

A) $- 3 e ^ { y ^ { 2 } } \sin x + C$
B) $2 e ^ { y ^ { 2 } } \sin x + C$
C) $- 2 e ^ { y ^ { 2 } } \sin x + C$
D) $- e ^ { y ^ { 2 } } \sin x + C$
E) $e ^ { y ^ { 2 } } \sin x + C$

Question 62

If $\mathbf { F } ( x , y ) = \left( e ^ { - y } - 2 x \right) \mathbf { i } - \left( x e ^ { - y } + \sin y \right) \mathbf { j }$ is a conservative field, then its potential function $f ( x , y )$ is

A) $- x e ^ { - y } + x ^ { 2 } + \cos y + C$
B) $- x e ^ { - y } - x ^ { 2 } + \cos y + C$
C) $x e ^ { - y } - x ^ { 2 } + \cos y + C$
D) $x e ^ { - y } + x ^ { 2 } + \cos y + C$
E) $x e ^ { - y } - x ^ { 2 } - \cos y + C$

Question 63

If $\mathbf { F } ( x , y ) = ( 6 x - 5 y ) \mathbf { i } - \left( 5 x - 6 y ^ { 2 } \right) \mathbf { j }$ is a conservative field, then its potential function $f ( x , y )$ is

A) $3 x ^ { 2 } - 5 x y + 2 y ^ { 3 } + C$
B) $3 x ^ { 2 } + 5 x y + 2 y ^ { 3 } + C$
C) $3 x ^ { 2 } - 5 x y - 2 y ^ { 3 } + C$
D) $3 x ^ { 2 } + 5 x y - 2 y ^ { 3 } + C$
E) $- 3 x ^ { 2 } - 5 x y + 2 y ^ { 3 } + C$

Question 64

If $\mathbf { F } ( x , y ) = \left( 4 y ^ { 2 } + 6 x y - 2 \right) \mathbf { i } + \left( 3 x ^ { 2 } + 8 x y + 1 \right) \mathbf { j }$ is a conservative field, then its potential function $f ( x , y )$ is

A) $4 x y ^ { 2 } - 3 x ^ { 2 } y - 2 x - y + C$
B) $4 x y ^ { 2 } - 3 x ^ { 2 } y + 2 x + y + C$
C) $4 x y ^ { 2 } + 3 x ^ { 2 } y + 2 x + y + C$
D) $4 x y ^ { 2 } + 3 x ^ { 2 } y - 2 x + y + C$
E) $4 x y ^ { 2 } - 3 x ^ { 2 } y - 2 x + y + C$

Question 65

If $\mathbf { F } ( x , y ) = \left( 6 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 14 x y + 3 \right) \mathbf { i } + \left( 4 x ^ { 3 } y - 7 x ^ { 2 } - 8 \right) \mathbf { j }$ is a conservative field, then its potential function $f ( x , y )$ is

A) $2 x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 7 x ^ { 2 } y + 3 x - 8 y + C$
B) $2 x ^ { 3 } y ^ { 2 } - 7 x ^ { 2 } y + 3 x - 8 y + C$
C) $2 x ^ { 3 } y ^ { 2 } - 7 x ^ { 2 } y - 3 x - 8 y + C$
D) $2 x ^ { 3 } y ^ { 2 } - 7 x ^ { 2 } y + 3 x + 8 y + C$
E) $2 x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 7 x ^ { 2 } y - 3 x - 8 y + C$

Question 66

If $\mathbf { F } ( x , y ) = ( 2 x + \ln y ) \mathbf { i } + \left( y ^ { 2 } + \frac { x } { y } \right) \mathbf { j }$ is a conservative field, then its potential function $f ( x , y )$ is

A) $- x ^ { 2 } + x \ln y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + C$
B) $x ^ { 2 } - x \ln y - \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + C$
C) $x ^ { 2 } + x \ln y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + C$
D) $x ^ { 2 } - x \ln y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + C$
E) $x ^ { 2 } + x \ln y - \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + C$

Question 67

If $\mathbf { F } ( x , y ) = \left( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { y ^ { 2 } } \right) \mathbf { i } + \left( \frac { 1 - 2 x } { y ^ { 3 } } \right) \mathbf { j }$ is a conservative field, then its potential function $f ( x , y )$ is

A) $- \frac { 2 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } - x } { 2 x y ^ { 2 } } + C$
B) $\frac { 2 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + x } { 2 x y ^ { 2 } } + C$
C) $\frac { 2 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } + x } { 2 x y ^ { 2 } } + C$
D) $\frac { 2 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } - x } { 2 x y ^ { 2 } } + C$
E) $\frac { 2 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } - x } { 2 x y ^ { 2 } } + C$

Question 68

If $\mathbf { F } ( x , y ) = \left( \frac { 2 x - 1 } { y } \right) \mathbf { i } + \left( \frac { x - x ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } \right) \mathbf { j }$ is a conservative field, then its potential function $f ( x , y )$ is

A) $\frac { x ^ { 2 } + x } { y } + C$
B) $\frac { x ^ { 2 } - x } { y } + C$
C) $- \frac { x ^ { 2 } - x } { y } + C$
D) $\frac { x ^ { 2 } - x } { 2 y } + C$
E) $\frac { x ^ { 2 } + x } { 2 y } + C$

Question 69

If $\mathbf { F } ( x , y ) = 2 x \sec 2 y \mathbf { i } + 2 x ^ { 2 } \sec 2 y \tan 2 y \mathbf { j }$ is a conservative field, then its potential function $f ( x , y )$ is

A) $3 x ^ { 2 } \sec 2 y + C$
B) $- 2 x ^ { 2 } \sec 2 y + C$
C) $2 x ^ { 2 } \sec 2 y + C$
D) $x ^ { 2 } \sec 2 y + C$
E) $- x ^ { 2 } \sec 2 y + C$

Question 70

If $\mathbf { F } ( x , y ) = ( 2 x y - y \sin x ) \mathbf { i } + \left( x ^ { 2 } + \cos x \right) \mathbf { j }$ is a conservative field, then its potential function $f ( x , y )$ is

A) $2 x ^ { 2 } y + y \cos x + C$
B) $- x ^ { 2 } y - y \cos x + C$
C) $- x ^ { 2 } y + y \cos x + C$
D) $x ^ { 2 } y - y \cos x + C$
E) $x ^ { 2 } y + y \cos x + C$

Question 71

If I = $\int$ C $3 \left( 2 x ^ { 2 } + 6 x y \right) d x + 3 \left( 3 x ^ { 2 } + 8 \right) d y$ is independent of the path where C is a curve from (1, 0) to (0, 1) then I is

A)-12
B)12
C)22
D)-22
E)32

Question 72

If I = $\int$ C $\left( e ^ { y } - 2 x y \right) d x + \left( x e ^ { y } - x ^ { 2 } \right) d y$ is independent of the path where C is a curve from (2, 1) to (1, 0) then I is

A) $5 - 2 e$
B) $5 + 2 e$
C) $- 5 - 2 e$
D) $- 5 + 2 e$
E) $5 - e$

Question 73

If I = $\int$ C $( \sin 2 x - \tan y ) d x + x \sec ^ { 2 } y d y$ is independent of the path where C is a curve from $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$ to $\left( \frac { \pi } { 4 } , - \frac { \pi } { 4 } \right)$ then I is

A) $\frac { \pi + 2 } { 2 }$
B) $\frac { \pi - 2 } { 2 }$
C) $- \frac { \pi - 2 } { 4 }$
D) $\frac { \pi - 2 } { 4 }$
E) $\frac { \pi + 2 } { 4 }$

Question 74

If I = $\int$ C $( x + y ) d x + ( 2 y + x ) d y$ is independent of the path where C is a curve from (-1, 3) to (2, 0) then I is

A) $\frac { 9 } { 2 }$
B) $- \frac { 9 } { 2 }$
C) $\frac { 7 } { 2 }$
D) $- \frac { 7 } { 2 }$
E) $- \frac { 5 } { 2 }$

Question 75

If I = $\int$ C $( x + y ) d x + ( 2 y + x ) d y$ is independent of the path where C is a curve from (0, 2) to (1, 3), then I is

A) $5 ( e - 1 )$
B) $- 3 ( e + 1 )$
C) $- 3 ( e - 1 )$
D) $3 ( e + 1 )$
E) $3 ( e - 1 )$

Question 76

If I = $\int$ C $\left( \frac { y } { x - 1 } \right) d x + \left( \ln ( 2 x - 2 ) + \frac { 1 } { y } \right) d y$ is independent of the path where C is a curve from (3, 1) to (2, 2), then I is

A)0
B) $\ln 2$
C) $\ln 3$
D) $\ln 5$
E) $\ln 6$

Question 77

If I = $\int$ C $\left( 2 y e ^ { 2 x } - x ^ { 2 } \right) d x + e ^ { 2 x } d y$ is independent of the path where C is a curve from (0, 1) to (1, 2), then I is

A) $\frac { 2 \left( 3 e ^ { 2 } + 2 \right) } { 5 }$
B) $- \frac { 2 \left( 3 e ^ { 2 } + 2 \right) } { 3 }$
C) $\frac { 2 \left( 3 e ^ { 2 } + 2 \right) } { 3 }$
D) $\frac { 2 \left( 3 e ^ { 2 } - 2 \right) } { 3 }$
E) $- \frac { 2 \left( 3 e ^ { 2 } - 2 \right) } { 3 }$

Question 78

If I = $\int$ C $\left( e ^ { - y } - 2 x \right) d x - \left( x e ^ { - y } + \sin y \right) d y$ is independent of the path where C is a curve from (0, ?) to (?, 0), then I is

A) $\pi ^ { 2 } - \pi - 2$
B) $\pi ^ { 2 } - \pi + 2$
C) $\pi ^ { 2 } + \pi - 2$
D) $\pi ^ { 2 } + \pi + 2$
E) $- \pi ^ { 2 } - \pi + 2$

Question 79

If I = $\int$ C $\frac { 1 } { y } d x - \frac { x } { y ^ { 2 } } d y$ is independent of the path where C is a curve from (5, -1) to (9, -3) then I is

A) $\pi$
B)3
C)2
D)-2
E)-3

Question 80

If I = $\int$ C $( \ln x + 2 ) d x + \left( e ^ { y } + 2 x \right) d y$ is independent of the path where C is a curve from (3, 1) to (1, 3), then I is

A) $e ^ { 3 } + e + 3 \ln 3 + 6$
B) $e ^ { 3 } - e - 3 \ln 3 - 6$
C) $e ^ { 3 } - e + 3 \ln 3 + 6$
D) $e ^ { 3 } - e - 3 \ln 3 + 6$
E) $e ^ { 3 } + e - 3 \ln 3 + 6$