Using Maclaurin Series, the General Series Solution, with the First $y ^ { \prime \prime } + x ^ { 2 } y ^ { \prime } + x y = 0$

Multiple Choice

Using Maclaurin series, the general series solution, with the first four nonzero terms, of the differential equation $y ^ { \prime \prime } + x ^ { 2 } y ^ { \prime } + x y = 0$ is

A) $y = A \left( 1 - \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { 4 ^ { 2 } x ^ { 6 } } { 6 ! } - \frac { 4 ^ { 2 } \cdot 7 ^ { 2 } x ^ { 9 } } { 9 ! } + \cdots \right) + B \left( x + \frac { 2 ^ { 2 } x ^ { 4 } } { 4 ! } - \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } x ^ { 7 } } { 7 ! } + \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } \cdot 8 ^ { 2 } x ^ { 10 } } { 10 ! } - \cdots \right)$
B) $y = A \left( 1 - \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { 4 ^ { 2 } x ^ { 6 } } { 6 ! } - \frac { 4 ^ { 2 } \cdot 7 ^ { 2 } x ^ { 9 } } { 9 ! } + \cdots \right) + B \left( x + \frac { 2 ^ { 2 } x ^ { 4 } } { 4 ! } + \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } x ^ { 7 } } { 7 ! } + \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } \cdot 8 ^ { 2 } x ^ { 10 } } { 10 ! } + \cdots \right)$
C) $y = A \left( 1 + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } - \frac { 4 ^ { 2 } x ^ { 6 } } { 6 ! } + \frac { 4 ^ { 2 } \cdot 7 ^ { 2 } x ^ { 9 } } { 9 ! } - \cdots \right) + B \left( x - \frac { 2 ^ { 2 } x ^ { 4 } } { 4 ! } + \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } x ^ { 7 } } { 7 ! } - \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } \cdot 8 ^ { 2 } x ^ { 10 } } { 10 ! } + \cdots \right)$
D) $y = A \left( 1 - \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { 4 ^ { 2 } x ^ { 6 } } { 6 ! } - \frac { 4 ^ { 2 } \cdot 7 ^ { 2 } x ^ { 9 } } { 9 ! } + \cdots \right) + B \left( x - \frac { 2 ^ { 2 } x ^ { 4 } } { 4 ! } + \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } x ^ { 7 } } { 7 ! } - \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } \cdot 8 ^ { 2 } x ^ { 10 } } { 10 ! } + \cdots \right)$
E) $y = A \left( 1 + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { 4 ^ { 2 } x ^ { 6 } } { 6 ! } + \frac { 4 ^ { 2 } \cdot 7 ^ { 2 } x ^ { 9 } } { 9 ! } + \cdots \right) + B \left( x - \frac { 2 ^ { 2 } x ^ { 4 } } { 4 ! } + \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } x ^ { 7 } } { 7 ! } - \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 5 ^ { 2 } \cdot 8 ^ { 2 } x ^ { 10 } } { 10 ! } + \cdots \right)$