Using Maclaurin Series, the General Series Solution, with the First $y ^ { \prime \prime } = x y$

Multiple Choice

Using Maclaurin series, the general series solution, with the first three nonzero terms, of the differential equation $y ^ { \prime \prime } = x y$ is

A) $y = A \left( 1 + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { 4 x ^ { 4 } } { 6 ! } + \frac { 4 \cdot 7 x ^ { 9 } } { 9 ! } + \cdots \right) + B \left( x + \frac { 2 x ^ { 4 } } { 4 ! } - \frac { 2 \cdot 5 x ^ { 7 } } { 7 ! } + \frac { 2 \cdot 5 \cdot 8 x ^ { 10 } } { 10 ! } - \cdots \right)$
B) $y = A \left( 1 + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { 4 x ^ { 4 } } { 6 ! } + \frac { 4 \cdot 7 x ^ { 9 } } { 9 ! } + \cdots \right) + B \left( x - \frac { 2 x ^ { 4 } } { 4 ! } + \frac { 2 \cdot 5 x ^ { 7 } } { 7 ! } - \frac { 2 \cdot 5 \cdot 8 x ^ { 10 } } { 10 ! } + \cdots \right)$
C) $y = A \left( 1 + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { 4 x ^ { 4 } } { 6 ! } + \frac { 4 \cdot 7 x ^ { 9 } } { 9 ! } + \cdots \right) + B \left( x + \frac { 2 x ^ { 4 } } { 4 ! } + \frac { 2 \cdot 5 x ^ { 7 } } { 7 ! } + \frac { 2 \cdot 5 \cdot 8 x ^ { 10 } } { 10 ! } + \cdots \right)$
D) $y = A \left( 1 + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } - \frac { 4 x ^ { 4 } } { 6 ! } + \frac { 4 \cdot 7 x ^ { 9 } } { 9 ! } - \cdots \right) + B \left( x + \frac { 2 x ^ { 4 } } { 4 ! } + \frac { 2 \cdot 5 x ^ { 7 } } { 7 ! } + \frac { 2 \cdot 5 \cdot 8 x ^ { 10 } } { 10 ! } + \cdots \right)$
E) $y = A \left( 1 - \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { 4 x ^ { 4 } } { 6 ! } - \frac { 4 \cdot 7 x ^ { 9 } } { 9 ! } + \cdots \right) + B \left( x + \frac { 2 x ^ { 4 } } { 4 ! } + \frac { 2 \cdot 5 x ^ { 7 } } { 7 ! } + \frac { 2 \cdot 5 \cdot 8 x ^ { 10 } } { 10 ! } + \cdots \right)$