Exam 13: Magnetically Coupled Circuits

Correct Answer:

Verified

$$\begin{array} { l } - \mathrm { V } _ { \mathrm { s } } + \mathrm { Z } _ { \mathrm { s } } \mathrm { I } _ { 1 } + \mathrm { V } _ { 1 } = 0 \\- \mathrm { V } _ { 2 } + \mathrm { Z } _ { \mathrm { L } } \mathrm { I } _ { 2 } = 0 \\\mathrm {~V} _ { 1 } = \mathrm { R } _ { 1 } \mathrm { I } _ { 1 } + \mathrm { Z } _ { \mathrm { L } 1 } \mathrm { I } _ { 1 } + \mathrm { Z } _ { \mathrm { M } } \mathrm { I } _ { 2 } \\\mathrm {~V} _ { 2 } = - \mathrm { Z } _ { \mathrm { M } } \mathrm { I } _ { 1 } - \mathrm { R } _ { 2 } \mathrm { I } _ { 2 } - \mathrm { Z } _ { \mathrm { L } 2 } \mathrm { I } _ { 2 }\end{array}$$ Solving these equations, we obtain $$\begin{array} { l } \mathrm { I } _ { 1 } = 5.8761 \angle 11.0143 ^ { \circ } \mathrm { A } \\\mathrm { I } _ { 2 } = 1.7619 \angle - 122.25 ^ { \circ } \mathrm { A } \\\mathrm { V } _ { 1 } = 58.6818 \angle 52.0883 ^ { \circ } \mathrm { V } \\\mathrm { V } _ { 2 } = 18.1402 \angle - 93.1954 ^ { \circ } \mathrm { V }\end{array}$$ clear all;
$\mathrm { ZL } 1 = 8 j ; \mathrm { ZL } 2 = 11 j ; \mathrm { ZM } = 7 j ; \mathrm { R } 1 = 6 ; \mathrm { R } 2 = 8 ; \mathrm { Zs } = 5 - 9 j ; \mathrm { ZL } = 9 + 5 j ; \mathrm { ZMM } = \mathrm { abs } ( \mathrm { ZM } )$ ;
$\mathrm { Vm } = 75 ; \mathrm { phi } = 0$ ;
$\mathrm { Vs } = \mathrm { P } 2 \mathrm { Rd } ( \mathrm { Vm } , \mathrm { phi } )$
syms I1 I2 V1 V2
$\left[ \begin{array} { l l l l } \mathrm { I } & \mathrm { I } 2 & \mathrm {~V} 1 & \mathrm {~V} 2 \end{array} \right] = \mathrm { solve } \left( - \mathrm { Vs } + \mathrm { Zs } { } ^ { * } \mathrm { I } 1 + \mathrm { V } 1 , - \mathrm { V } 2 + \mathrm { ZL } { } ^ { * } \mathrm { I } 2 , \ldots \right.$
$\mathrm { V } 1 = = \mathrm { R } 1$ * $\mathrm { I } 1 + \mathrm { ZL } 1$ * $\mathrm { I } 1 + \mathrm { ZM } { } ^ { * } \mathrm { I } 2 , \ldots$
$\mathrm { V } 2 = = - \mathrm { R } 2 ^ { \star } \mathrm { I } 2 - \mathrm { ZM } { } ^ { * } \mathrm { I } 1 - \mathrm { ZL } 2 ^ { \star } \mathrm { I } 2 , \ldots$
$\mathrm { I } 1 , \mathrm { I } 2 , \mathrm {~V} 1 , \mathrm {~V} 2 )$ ;
I $1 \mathrm { p } = \mathrm { R } 2 \mathrm { P } ( \mathrm { I } 1 )$ ;
$I 2 \mathrm { p } = \mathrm { R } 2 \mathrm { P } ( \mathrm { I } 2 ) ;$
$\mathrm { V } 1 \mathrm { p } = \mathrm { R } 2 \mathrm { P } ( \mathrm { Vl } ) ;$ $\mathrm { V } 2 \mathrm { p } = \mathrm { R } 2 \mathrm { P } ( \mathrm { V } 2 )$ ;
$\mathrm { V } 2 \mathrm { p } = \mathrm { R } 2 \mathrm { P } ( \mathrm { V } 2 )$ ;
I $1 = \operatorname { vpa } ( I 1,6 )$ I $1 \mathrm { p } = \operatorname { vpa } ( I 1 \mathrm { p } , 7 )$
I2 = vpa $( I 2,6 )$
I 2p=vpa $( I 2 \mathrm { p } , 7 )$
$\mathrm { V } 1 = \operatorname { vpa } ( \mathrm { V } 1,6 )$
$\mathrm { V } 1 \mathrm { p } = \operatorname { vpa } ( \mathrm { V } 1 \mathrm { p } , 7 )$
$\mathrm { V } 2 = \operatorname { vpa } ( \mathrm { V } 2,6 )$
V2p $= \operatorname { vpa } ( \mathrm { V } 2 \mathrm { p } , 7 )$
$\mathrm { VO } = \mathrm { I } 2 * \mathrm { ZL }$
Vop $=$ R2P (Vo)
Vop $= \operatorname { vpa } ( \operatorname { Vop } , 7 )$

Correct Answer:

Verified

$$\begin{array} { l } Z _ { \mathrm { a } } = \mathrm { R } _ { 1 } + Z _ { \mathrm { L } 3 } + Z _ { \mathrm { L } 1 } = 6 + \mathrm { j } 26 \\Z _ { \mathrm { b } } = Z _ { \mathrm { L } 2 } + \mathrm { R } _ { 2 } + Z _ { \mathrm { C } 1 } = 9 + \mathrm { j } 11 \\V _ { t h } = V _ { s } \times \frac { Z _ { M } } { Z _ { a } } = 21.9209 + \mathrm { j } 71.6760 \\V _ { o } = V _ { t h } \times \frac { R _ { L } } { Z _ { t h } + R _ { L } } = 15.1058 + \mathrm { j } 40.1490 = 42.8967 \angle 69.3815 ^ { \circ } \mathrm { V }\end{array}$$ clear all;
$\mathrm { ZL } = 19 \mathrm { j } ; \mathrm { ZL } 2 = 21 \mathrm { j } ; \mathrm { ZM } = 16 \mathrm { j } ; \mathrm { R } 1 = 6 ; \mathrm { R } 2 = 9 ; \mathrm { ZL } 3 = 7 \mathrm { j } ; \mathrm { ZC1 } = - 10 \mathrm { j } ; \mathrm { RL } = 15 ; \mathrm { ZMM } = \mathrm { abs } ( \mathrm { ZM } )$ ;
$\mathrm { Vm } = 125 ; \mathrm { phi } = 60$ ;
$\mathrm { Vs } = \mathrm { P } 2 \mathrm { Rd }$ (Vm, phi)
$\mathrm { Za } = \mathrm { R } 1 + \mathrm { ZL } 3 + \mathrm { ZL } 1$
$\mathrm { Zb } = \mathrm { ZL } 2 + \mathrm { R } 2 + \mathrm { ZCl }$
Vth $= \mathrm { Vs }$ * $\mathrm { ZM } / \mathrm { Za }$
$\mathrm { Zth } = \mathrm { Zb } + \mathrm { ZMM } ^ { \wedge } 2 / \mathrm { Za }$
Voa $= \mathrm { Vth } \star \mathrm { RL } / ( \mathrm { Zth } + \mathrm { RL } )$
Voap=R2P (Voa)

Correct Answer:

Verified

$$\begin{array} { l } - V _ { \mathrm { s } } + \mathrm { R } _ { 1 } \mathrm { I } _ { 1 } + \mathrm { V } _ { 1 } = 0 \\- \mathrm { V } _ { 2 } - \mathrm { R } _ { 2 } \mathrm { I } _ { 2 } - \mathrm { Z } _ { \mathrm { L } 3 } \mathrm { I } _ { 2 } = 0 \\\mathrm {~V} _ { 1 } = \mathrm { Z } _ { \mathrm { L } 1 } \mathrm { I } _ { 1 } - \mathrm { Z } _ { \mathrm { M } } \mathrm { I } _ { 2 } \\\mathrm {~V} _ { 2 } = - \mathrm { Z } _ { \mathrm { M } } \mathrm { I } _ { 1 } + \mathrm { Z } _ { \mathrm { L } 2 } \mathrm { I } _ { 2 }\end{array}$$
Solving these equations, we obtain
$$\begin{array} { l } \mathrm { I } _ { 1 } = 4.5947 \angle - 40.5779 ^ { \circ } \mathrm { A } \\\mathrm { I } _ { 2 } = 1.4248 \angle - 10.8331 ^ { \circ } \mathrm { A } \\\mathrm { V } _ { 1 } = 30.7763 \angle 42.8276 ^ { \circ } \mathrm { V } \\\mathrm { V } _ { 2 } = 12.7435 \angle - 164.268 ^ { \circ } \mathrm { V }\end{array}$$ clear all;
$\mathrm { ZL } 1 - 8 j ; Z L 2 - 10 j ; 2 M = 5 j ; \mathrm { R } 1 - 7 ; \mathrm { R } 2 - 8 ; \mathrm { ZL } 3 - 4 j ; \mathrm { Vm } = 47 ; \mathrm { ph } i - 0$ ;
$\mathrm { Vs } = \mathrm { P } 2 \mathrm { Rd }$ (Vm, phi)
syms I1 I2 V1 V2
$[ I 1 , I 2 , V 1 , V 2 ] = s o l v e \{ - V s + R 1 * I 1 + V 1 , - V 2 - R 2 * I 2 - Z L 3 * I 2 , \ldots$
$\mathrm { V } 1 = = \mathrm { ZL } 1$ * I1-ZM* $\left. \mathrm { I } 2 , \mathrm {~V} 2 = = - \mathrm { ZM } ^ { * } \mathrm { I } 1 + \mathrm { ZL } 2 ^ { * } \mathrm { I } 2 \right)$ ;
$I 1 \mathrm { p } = \mathrm { R } 2 \mathrm { P } ( \mathrm { I } 1 )$ ;
$I 2 \mathrm { P } = \mathrm { R } 2 \mathrm { P } \langle \mathrm { I } 2 \rangle ;$
$\mathrm { V } 1 \mathrm { p } = \mathrm { R } 2 \mathrm { P } ( \mathrm { V } 1 ) ;$
$V 2 \mathrm { p } = \mathrm { R } 2 \mathrm { P } ( \mathrm { V } 2 ) ;$
$I l = \operatorname { vpa } ( I 1,6 )$ $\mathrm { I } 1 \mathrm { p } = \operatorname { vpa } ( \mathrm { I } , \mathrm { p } , 7$
I $1 p = \operatorname { vpa } ( 11 \mathrm { p }$ , I2=vpa $( I 2,6 )$
I2p=vpa $( 12 \mathrm { p } , 7 \rangle$
$V 1 = \operatorname { vpa } ( V 1,6 )$
$\mathrm { V } 1 \mathrm { p } = \operatorname { vpa } \langle \mathrm { V } 1 \mathrm { p } , 7 \rangle$
$\mathrm { V } 2 = \mathrm { vpa } ( \mathrm { V } 2,6 )$
$\mathrm { V } 2 \mathrm { p } = \mathrm { vpa } \langle \mathrm { V } 2 \mathrm { p } , 7 \rangle$