Question 1

Let $x e ^ { y z } + y e ^ { x z } + x y z = 0$ . If Z is a function of x and y, then $z _ { y } ( x , y , z )$ is

Accepted Answer

A)  $- \frac { x z e ^ { y z } + e ^ { x z } + x z } { x y \left( e ^ { y z } - e ^ { x z } + 1 \right) }$ 
B)  $\frac { x z e ^ { y z } + e ^ { x z } + x z } { x y \left( e ^ { y z } + e ^ { x z } - 1 \right) }$ 
C)  $- \frac { x z e ^ { y z } + e ^ { x z } + x z } { x y \left( e ^ { y z } + e ^ { x z } - 1 \right) }$ 
D)  $\frac { x z e ^ { y z } + e ^ { x z } + x z } { x y \left( e ^ { y z } + e ^ { x z } + 1 \right) }$ 
E)  $- \frac { x z e ^ { y z } + e ^ { x z } + x z } { x y \left( e ^ { y z } + e ^ { x z } + 1 \right) }$ 
A)  $- \frac { x z e ^ { y z } + e ^ { x z } + x z } { x y \left( e ^ { y z } - e ^ { x z } + 1 \right) }$ 
B)  $\frac { x z e ^ { y z } + e ^ { x z } + x z } { x y \left( e ^ { y z } + e ^ { x z } - 1 \right) }$ 
C)  $- \frac { x z e ^ { y z } + e ^ { x z } + x z } { x y \left( e ^ { y z } + e ^ { x z } - 1 \right) }$ 
D)  $\frac { x z e ^ { y z } + e ^ { x z } + x z } { x y \left( e ^ { y z } + e ^ { x z } + 1 \right) }$ 
E)  $- \frac { x z e ^ { y z } + e ^ { x z } + x z } { x y \left( e ^ { y z } + e ^ { x z } + 1 \right) }$

Question 2

Let $f ( x , y ) = x ^ { 3 } - 4 \log _ { 7 } \left( x ^ { 2 } \right) + \sin ^ { - 1 } ( x y )$ . Then $f _ { x } ( x , y )$ is

Accepted Answer

A)  $- 3 x ^ { 2 } - \frac { 8 } { x \ln 7 } + \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$ 
B)  $3 x ^ { 2 } + \frac { 8 } { x \ln 7 } - \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$ 
C)  $3 x ^ { 2 } - \frac { 8 } { x \ln 7 } - \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$ 
D)  $3 x ^ { 2 } - \frac { 8 } { x \ln 7 } + \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$ 
E)  $3 x ^ { 2 } + \frac { 8 } { x \ln 7 } + \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$ 
A)  $- 3 x ^ { 2 } - \frac { 8 } { x \ln 7 } + \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$ 
B)  $3 x ^ { 2 } + \frac { 8 } { x \ln 7 } - \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$ 
C)  $3 x ^ { 2 } - \frac { 8 } { x \ln 7 } - \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$ 
D)  $3 x ^ { 2 } - \frac { 8 } { x \ln 7 } + \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$ 
E)  $3 x ^ { 2 } + \frac { 8 } { x \ln 7 } + \frac { y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } }$

Question 3

Let $f ( x , y ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ . Then $f _ { x y } ( x , y )$ is

Accepted Answer

A)  $- \frac { 2 x y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$ 
B)  $\frac { 2 x y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$ 
C)  $- \frac { x ^ { 2 } y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$ 
D)  $\frac { x ^ { 2 } y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$ 
E)  $- \frac { y ^ { 2 } x } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$ 
A)  $- \frac { 2 x y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$ 
B)  $\frac { 2 x y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$ 
C)  $- \frac { x ^ { 2 } y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$ 
D)  $\frac { x ^ { 2 } y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$ 
E)  $- \frac { y ^ { 2 } x } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$

Question 4

Let $f ( x , y ) = \frac { x - 1 } { y + 2 }$ . Then $f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )$ is

Accepted Answer

A)  $\frac { \Delta x } { y + 1 }$ 
B)  $\frac { 2 \Delta x } { y + 2 }$ 
C)  $- \frac { \Delta x } { y + 2 }$ 
D)  $\frac { \Delta x } { y - 2 }$ 
E)  $\frac { \Delta x } { y + 2 }$ 
A)  $\frac { \Delta x } { y + 1 }$ 
B)  $\frac { 2 \Delta x } { y + 2 }$ 
C)  $- \frac { \Delta x } { y + 2 }$ 
D)  $\frac { \Delta x } { y - 2 }$ 
E)  $\frac { \Delta x } { y + 2 }$

Question 5

Let $f ( x , y ) = \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ . Then $f _ { y x } ( x , y )$ is

Accepted Answer

A)  $\cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) - y ( x - 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ 
B)  $- \cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) + y ( x + 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ 
C)  $- \cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) - y ( x + 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ 
D)  $\cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) - y ( x + 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ 
E)  $\cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) + y ( x + 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ 
A)  $\cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) - y ( x - 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ 
B)  $- \cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) + y ( x + 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ 
C)  $- \cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) - y ( x + 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ 
D)  $\cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) - y ( x + 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ 
E)  $\cos \left( x y + y ^ { 2 } \right) + y ( x + 2 y ) \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$

Question 6

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x ^ { 2 } y ^ { 4 } } { x ^ { 4 } + y ^ { 4 } }$ is

Accepted Answer

A) Does not exist 
B) 2 
C)  $\frac { 1 } { 2 }$ 
D) 0 
E) 1 
A) Does not exist 
B) 2 
C)  $\frac { 1 } { 2 }$ 
D) 0 
E) 1

Question 7

Let $z = e ^ { 5 x y }$ . Then the differential $d ^ { z }$ is

Accepted Answer

A)  $5 e ^ { 5 x y } ( y d x - x d y )$ 
B)  $5 e ^ { 5 x y } ( y d x + x d y )$ 
C)  $- 5 e ^ { 5 x y } ( y d x + x d y )$ 
D)  $5 e ^ { 5 x y } ( - y d x + x d y )$ 
E)  $e ^ { 5 x y } ( y d x + x d y )$ 
A)  $5 e ^ { 5 x y } ( y d x - x d y )$ 
B)  $5 e ^ { 5 x y } ( y d x + x d y )$ 
C)  $- 5 e ^ { 5 x y } ( y d x + x d y )$ 
D)  $5 e ^ { 5 x y } ( - y d x + x d y )$ 
E)  $e ^ { 5 x y } ( y d x + x d y )$

Question 8

Let $\frac { y ^ { 2 } z ^ { 2 } + x ^ { 2 } z ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 2 } } - \frac { 49 } { 36 } = 0$ . If Z is a function of x and y, then $z _ { x } ( - 1,2,3 )$ is

Accepted Answer

A) 27 
B) 18 
C)  $- 27$ 
D)  $- 18$ 
E) 9 
A) 27 
B) 18 
C)  $- 27$ 
D)  $- 18$ 
E) 9

Question 9

The domain of the function $f ( x , y ) = \ln \left( 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right)$ is

Accepted Answer

A)  $\{ ( x , y ) : ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \}$ 
B)  $\{ ( x , y ) : 2 x \neq y \}$ 
C)  $\left\{ ( x , y ) : y ^ { 2 } < 2 x ^ { 2 } \right\}$ 
D)  $\{ ( x , y ) : y \neq \sqrt { 2 } x \}$ 
E)  $\{ ( x , y ) : - \infty < x < \infty , - \infty < y < \infty \}$ 
A)  $\{ ( x , y ) : ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \}$ 
B)  $\{ ( x , y ) : 2 x \neq y \}$ 
C)  $\left\{ ( x , y ) : y ^ { 2 } < 2 x ^ { 2 } \right\}$ 
D)  $\{ ( x , y ) : y \neq \sqrt { 2 } x \}$ 
E)  $\{ ( x , y ) : - \infty < x < \infty , - \infty < y < \infty \}$

Question 10

The domain of the function $f ( x , y ) = \frac { x } { \sqrt { 2 x + 3 y } }$ is

Accepted Answer

A)  $\{ ( x , y ) : x \neq 0 \}$ 
B)  $\{ ( x , y ) : 3 x + 2 y \neq 0 \}$ 
C)  $\{ ( x , y ) : - 2 x + 3 y \neq 0 \}$ 
D)  $\{ ( x , y ) : 2 x - 3 y \neq 0 \}$ 
E)  $\{ ( x , y ) : 2 x + 3 y > 0 \}$ 
A)  $\{ ( x , y ) : x \neq 0 \}$ 
B)  $\{ ( x , y ) : 3 x + 2 y \neq 0 \}$ 
C)  $\{ ( x , y ) : - 2 x + 3 y \neq 0 \}$ 
D)  $\{ ( x , y ) : 2 x - 3 y \neq 0 \}$ 
E)  $\{ ( x , y ) : 2 x + 3 y > 0 \}$

Question 11

Let $f ( x , y ) = x y + 3$ . Then $f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )$ is

Accepted Answer

A)  $\Delta x + 3 \Delta y$ 
B)  $y - \Delta x$ 
C)  $y + \Delta x$ 
D)  $y \Delta x$ 
E)  $\Delta x \Delta y$ 
A)  $\Delta x + 3 \Delta y$ 
B)  $y - \Delta x$ 
C)  $y + \Delta x$ 
D)  $y \Delta x$ 
E)  $\Delta x \Delta y$

Question 12

Let $f ( x , y ) = \frac { x ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$ . Then $f _ { y } ( x , y )$ is

Accepted Answer

A)  $- \frac { 2 x ^ { 3 } \cos ( x y ) } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$ 
B)  $\frac { 2 x ^ { 3 } \cos ( x y ) } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$ 
C)  $- \frac { 2 x ^ { 3 } \sin ( x y ) } { \cos ^ { 2 } ( x y ) }$ 
D)  $\frac { 2 x ^ { 3 } \sin ( x y ) } { \cos ^ { 2 } ( x y ) }$ 
E)  $- \frac { 2 y ^ { 3 } \cos ( x y ) } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$ 
A)  $- \frac { 2 x ^ { 3 } \cos ( x y ) } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$ 
B)  $\frac { 2 x ^ { 3 } \cos ( x y ) } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$ 
C)  $- \frac { 2 x ^ { 3 } \sin ( x y ) } { \cos ^ { 2 } ( x y ) }$ 
D)  $\frac { 2 x ^ { 3 } \sin ( x y ) } { \cos ^ { 2 } ( x y ) }$ 
E)  $- \frac { 2 y ^ { 3 } \cos ( x y ) } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$

Question 13

Let $f ( x , y ) = e ^ { x y ^ { 2 } }$ . Then $f _ { x } ( x , y )$ is

Accepted Answer

A)  $x y ^ { 2 } e ^ { x y ^ { 2 } }$ 
B)  $- 2 x y e ^ { x y ^ { 2 } }$ 
C)  $2 x y e ^ { x y ^ { 2 } }$ 
D)  $- x y ^ { 2 } e ^ { x y ^ { 2 } }$ 
E)  $2 x y ^ { 2 } e ^ { x y ^ { 2 } }$ 
A)  $x y ^ { 2 } e ^ { x y ^ { 2 } }$ 
B)  $- 2 x y e ^ { x y ^ { 2 } }$ 
C)  $2 x y e ^ { x y ^ { 2 } }$ 
D)  $- x y ^ { 2 } e ^ { x y ^ { 2 } }$ 
E)  $2 x y ^ { 2 } e ^ { x y ^ { 2 } }$

Question 14

Let $z = x ^ { 2 } - y ^ { 2 }$ where x = 3r - s, y = r + 2s. When r = 1, s = 1, $z _ { r }$ is

Accepted Answer

A)  $- 1$ 
B)  $\frac { 17 } { 6 }$ 
C) 4 
D) 6 
E)  $\frac { 11 } { 6 }$ 
A)  $- 1$ 
B)  $\frac { 17 } { 6 }$ 
C) 4 
D) 6 
E)  $\frac { 11 } { 6 }$

Question 15

Consider a right circular cone with radius 4 inches and height 8 inches. If the measurements are accurate to within 0.1 inch, then the estimated error of the volume in cubic inches using differential is

Accepted Answer

A)  $\frac { 4 \pi } { 11 }$ 
B)  $\frac { 4 \pi } { 9 }$ 
C)  $\frac { 4 \pi } { 7 }$ 
D)  $\frac { 4 \pi } { 5 }$ 
E)  $\frac { 8 \pi } { 3 }$ 
A)  $\frac { 4 \pi } { 11 }$ 
B)  $\frac { 4 \pi } { 9 }$ 
C)  $\frac { 4 \pi } { 7 }$ 
D)  $\frac { 4 \pi } { 5 }$ 
E)  $\frac { 8 \pi } { 3 }$

Question 16

The domain of the function $f ( x , y ) = \ln \left( 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)$ is

Accepted Answer

A)  $\{ ( x , y ) : ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \}$ 
B)  $\{ ( x , y ) : x \neq y \}$ 
C)  $\{ ( x , y ) : y \neq \sqrt { 2 } x \}$ 
D)  $\left\{ ( x , y ) : 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 0 \right\}$ 
E)  $\left\{ ( x , y ) : 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \geq 0 \right\}$ 
A)  $\{ ( x , y ) : ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \}$ 
B)  $\{ ( x , y ) : x \neq y \}$ 
C)  $\{ ( x , y ) : y \neq \sqrt { 2 } x \}$ 
D)  $\left\{ ( x , y ) : 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 0 \right\}$ 
E)  $\left\{ ( x , y ) : 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \geq 0 \right\}$

Question 17

Let $f ( x , y ) = x + 2 y$ . Then $f ( x , y + \Delta y ) - f ( x , y )$ is

Accepted Answer

A)  $\Delta x - 2 \Delta y$ 
B)  $\Delta y$ 
C)  $2 \Delta y$ 
D)  $x + 2 \Delta y$ 
E)  $\Delta x + 2 \Delta y$ 
A)  $\Delta x - 2 \Delta y$ 
B)  $\Delta y$ 
C)  $2 \Delta y$ 
D)  $x + 2 \Delta y$ 
E)  $\Delta x + 2 \Delta y$

Question 18

Let $z = x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 }$ , where $x = \sin t$ and $y = e ^ { t }$ . When is

Accepted Answer

A)  $- 1$ 
B)  $- \pi$ 
C) 1 
D)  $\pi$ 
E)  $\frac { \pi } { 3 }$ 
A)  $- 1$ 
B)  $- \pi$ 
C) 1 
D)  $\pi$ 
E)  $\frac { \pi } { 3 }$

Question 19

Let $f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c c } 
\frac { x ^ { 2 } + y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \
0 & ( x , y ) = ( 0,0 )
\end{array} \right.$ . Then f is

Accepted Answer

A) Continuous at (0,0) 
B) Discontinuous at (0,0)because f is undefined at (0,0) 
C) Discontinuous at (0,0)because the limit of f at (0,0) does not exist 
D) Discontinuous at (0,0)because the limit of f at (0,0) is different from the function values at (0,0) 
E) Discontinuous at (0,0) for a reason that is different from the ones above 
A) Continuous at (0,0) 
B) Discontinuous at (0,0)because f is undefined at (0,0) 
C) Discontinuous at (0,0)because the limit of f at (0,0) does not exist 
D) Discontinuous at (0,0)because the limit of f at (0,0) is different from the function values at (0,0) 
E) Discontinuous at (0,0) for a reason that is different from the ones above

Question 20

Let $w = ( x + 2 y + 3 z ) ^ { 4 }$ , where x = s + t, y = s - t, z = st. When s = 0, t = 1, $w _ { t }$ is

Accepted Answer

A)  $- 16$ 
B)  $- 24$ 
C) 12 
D) 4 
E)  $- 1$ 
A)  $- 16$ 
B)  $- 24$ 
C) 12 
D) 4 
E)  $- 1$

Let $x e ^ { y z } + y e ^ { x z } + x y z = 0$ . If Z is a function of x and y, then $z _ { y } ( x , y , z )$ is

Let $f ( x , y ) = x ^ { 3 } - 4 \log _ { 7 } \left( x ^ { 2 } \right) + \sin ^ { - 1 } ( x y )$ . Then $f _ { x } ( x , y )$ is

Let $f ( x , y ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ . Then $f _ { x y } ( x , y )$ is

Let $f ( x , y ) = \frac { x - 1 } { y + 2 }$ . Then $f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )$ is

Let $f ( x , y ) = \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ . Then $f _ { y x } ( x , y )$ is

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x ^ { 2 } y ^ { 4 } } { x ^ { 4 } + y ^ { 4 } }$ is

Let $z = e ^ { 5 x y }$ . Then the differential $d ^ { z }$ is

Let $\frac { y ^ { 2 } z ^ { 2 } + x ^ { 2 } z ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 2 } } - \frac { 49 } { 36 } = 0$ . If Z is a function of x and y, then $z _ { x } ( - 1,2,3 )$ is

The domain of the function $f ( x , y ) = \ln \left( 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right)$ is

The domain of the function $f ( x , y ) = \frac { x } { \sqrt { 2 x + 3 y } }$ is

Let $f ( x , y ) = x y + 3$ . Then $f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )$ is

Let $f ( x , y ) = \frac { x ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$ . Then $f _ { y } ( x , y )$ is

Let $f ( x , y ) = e ^ { x y ^ { 2 } }$ . Then $f _ { x } ( x , y )$ is

Let $z = x ^ { 2 } - y ^ { 2 }$ where x = 3r - s, y = r + 2s. When r = 1, s = 1, $z _ { r }$ is

Consider a right circular cone with radius 4 inches and height 8 inches. If the measurements are accurate to within 0.1 inch, then the estimated error of the volume in cubic inches using differential is

The domain of the function $f ( x , y ) = \ln \left( 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)$ is

Let $f ( x , y ) = x + 2 y$ . Then $f ( x , y + \Delta y ) - f ( x , y )$ is

Let $z = x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 }$ , where $x = \sin t$ and $y = e ^ { t }$ . When is

Let $f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c c } \frac { x ^ { 2 } + y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \\0 & ( x , y ) = ( 0,0 )\end{array} \right.$ . Then f is

Let $w = ( x + 2 y + 3 z ) ^ { 4 }$ , where x = s + t, y = s - t, z = st. When s = 0, t = 1, $w _ { t }$ is

Preparing for Calculus

Limits and Continuity

The Derivative

More About Derivatives

Applications of the Derivative

The Integral

Applications of the Integral

Techniques of Integration

Infinite Series

Parametric Equations; Polar Equations

Vectors; Lines, Planes, and Quadric Surfaces in Space

Vector Functions

Directional Derivatives, Gradients, and Extrema

Multiple Integrals

Vector Calculus

Differential Equations

Filters

Exam 13: Functions of Several Variables

Let xeyz+yexz+xyz=0x e ^ { y z } + y e ^ { x z } + x y z = 0xeyz+yexz+xyz=0 . If Z is a function of x and y, then zy(x,y,z)z _ { y } ( x , y , z )zy​(x,y,z) is

Let f(x,y)=x3−4log⁡7(x2)+sin⁡−1(xy)f ( x , y ) = x ^ { 3 } - 4 \log _ { 7 } \left( x ^ { 2 } \right) + \sin ^ { - 1 } ( x y )f(x,y)=x3−4log7​(x2)+sin−1(xy) . Then fx(x,y)f _ { x } ( x , y )fx​(x,y) is

Let f(x,y)=ln⁡(x2+y2)f ( x , y ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)f(x,y)=ln(x2+y2​) . Then fxy(x,y)f _ { x y } ( x , y )fxy​(x,y) is

Let f(x,y)=x−1y+2f ( x , y ) = \frac { x - 1 } { y + 2 }f(x,y)=y+2x−1​ . Then f(x+Δx,y)−f(x,y)f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )f(x+Δx,y)−f(x,y) is

Let f(x,y)=sin⁡(xy+y2)f ( x , y ) = \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)f(x,y)=sin(xy+y2) . Then fyx(x,y)f _ { y x } ( x , y )fyx​(x,y) is

The limit lim⁡(x,y)→(0,0)x2y4x4+y4\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x ^ { 2 } y ^ { 4 } } { x ^ { 4 } + y ^ { 4 } }lim(x,y)→(0,0)​x4+y4x2y4​ is

Let z=e5xyz = e ^ { 5 x y }z=e5xy . Then the differential dzd ^ { z }dz is

Let y2z2+x2z2+x2y2x2y2z2−4936=0\frac { y ^ { 2 } z ^ { 2 } + x ^ { 2 } z ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 2 } } - \frac { 49 } { 36 } = 0x2y2z2y2z2+x2z2+x2y2​−3649​=0 . If Z is a function of x and y, then zx(−1,2,3)z _ { x } ( - 1,2,3 )zx​(−1,2,3) is

The domain of the function f(x,y)=ln⁡(2x2−y2)f ( x , y ) = \ln \left( 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right)f(x,y)=ln(2x2−y2) is

The domain of the function f(x,y)=x2x+3yf ( x , y ) = \frac { x } { \sqrt { 2 x + 3 y } }f(x,y)=2x+3y​x​ is

Let f(x,y)=xy+3f ( x , y ) = x y + 3f(x,y)=xy+3 . Then f(x+Δx,y)−f(x,y)f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )f(x+Δx,y)−f(x,y) is

Let f(x,y)=x2sin⁡2(xy)f ( x , y ) = \frac { x ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }f(x,y)=sin2(xy)x2​ . Then fy(x,y)f _ { y } ( x , y )fy​(x,y) is

Let f(x,y)=exy2f ( x , y ) = e ^ { x y ^ { 2 } }f(x,y)=exy2 . Then fx(x,y)f _ { x } ( x , y )fx​(x,y) is

Let z=x2−y2z = x ^ { 2 } - y ^ { 2 }z=x2−y2 where x = 3r - s, y = r + 2s. When r = 1, s = 1, zrz _ { r }zr​ is

Consider a right circular cone with radius 4 inches and height 8 inches. If the measurements are accurate to within 0.1 inch, then the estimated error of the volume in cubic inches using differential is

The domain of the function f(x,y)=ln⁡(2x2+y2)f ( x , y ) = \ln \left( 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)f(x,y)=ln(2x2+y2) is

Let f(x,y)=x+2yf ( x , y ) = x + 2 yf(x,y)=x+2y . Then f(x,y+Δy)−f(x,y)f ( x , y + \Delta y ) - f ( x , y )f(x,y+Δy)−f(x,y) is

Let z=x2y−xy2z = x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 }z=x2y−xy2 , where x=sin⁡tx = \sin tx=sint and y=ety = e ^ { t }y=et . When is

Let f(x,y)={x2+yx2+y2(x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0)f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c c } \frac { x ^ { 2 } + y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \\0 & ( x , y ) = ( 0,0 )\end{array} \right.f(x,y)={x2+y2x2+y​0​(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0)​ . Then f is

Let w=(x+2y+3z)4w = ( x + 2 y + 3 z ) ^ { 4 }w=(x+2y+3z)4 , where x = s + t, y = s - t, z = st. When s = 0, t = 1, wtw _ { t }wt​ is

Preparing for Calculus

Limits and Continuity

The Derivative

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Applications of the Derivative

The Integral

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Techniques of Integration

Infinite Series

Parametric Equations; Polar Equations

Vectors; Lines, Planes, and Quadric Surfaces in Space

Vector Functions

Directional Derivatives, Gradients, and Extrema

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Vector Calculus

Differential Equations

Filters

Let $x e ^ { y z } + y e ^ { x z } + x y z = 0$ . If Z is a function of x and y, then $z _ { y } ( x , y , z )$ is

Let $f ( x , y ) = x ^ { 3 } - 4 \log _ { 7 } \left( x ^ { 2 } \right) + \sin ^ { - 1 } ( x y )$ . Then $f _ { x } ( x , y )$ is

Let $f ( x , y ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right)$ . Then $f _ { x y } ( x , y )$ is

Let $f ( x , y ) = \frac { x - 1 } { y + 2 }$ . Then $f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )$ is

Let $f ( x , y ) = \sin \left( x y + y ^ { 2 } \right)$ . Then $f _ { y x } ( x , y )$ is

The limit $\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { x ^ { 2 } y ^ { 4 } } { x ^ { 4 } + y ^ { 4 } }$ is

Let $z = e ^ { 5 x y }$ . Then the differential $d ^ { z }$ is

Let $\frac { y ^ { 2 } z ^ { 2 } + x ^ { 2 } z ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 2 } } - \frac { 49 } { 36 } = 0$ . If Z is a function of x and y, then $z _ { x } ( - 1,2,3 )$ is

The domain of the function $f ( x , y ) = \ln \left( 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right)$ is

The domain of the function $f ( x , y ) = \frac { x } { \sqrt { 2 x + 3 y } }$ is

Let $f ( x , y ) = x y + 3$ . Then $f ( x + \Delta x , y ) - f ( x , y )$ is

Let $f ( x , y ) = \frac { x ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } ( x y ) }$ . Then $f _ { y } ( x , y )$ is

Let $f ( x , y ) = e ^ { x y ^ { 2 } }$ . Then $f _ { x } ( x , y )$ is

Let $z = x ^ { 2 } - y ^ { 2 }$ where x = 3r - s, y = r + 2s. When r = 1, s = 1, $z _ { r }$ is

The domain of the function $f ( x , y ) = \ln \left( 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)$ is

Let $f ( x , y ) = x + 2 y$ . Then $f ( x , y + \Delta y ) - f ( x , y )$ is

Let $z = x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 }$ , where $x = \sin t$ and $y = e ^ { t }$ . When is

Let $f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { c c } \frac { x ^ { 2 } + y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & ( x , y ) \neq ( 0,0 ) \\0 & ( x , y ) = ( 0,0 )\end{array} \right.$ . Then f is

Let $w = ( x + 2 y + 3 z ) ^ { 4 }$ , where x = s + t, y = s - t, z = st. When s = 0, t = 1, $w _ { t }$ is